Областная олимпиада по математике, 2005 год, 11 класс

Докажите равенство $1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 3^2 + \dots + \left( {n - 1} \right)n^2 = \frac{{n\left( {n^2 - 1} \right)\left( {3n + 2} \right)}} {{12}}.$

Комментарий/решение

$1 \cdot 2^2+2 \cdot 3^2 + \ldots + (n-1)n^2 = \cfrac{n(n^2-1)(3n + 2)}{12}. \label{eq:1} \tag{1}$

Выражение $\eqref{eq:1}$ верно при $n=1$.

Пусть, выражение $\eqref{eq:1}$ верно при $n=k$, тогда получим:

$1 \cdot 2^2+2 \cdot 3^2 + \ldots + (k-1)k^2 = \cfrac{k(k^2-1)(3k + 2)}{12}. \label{eq:2} \tag{2}$

Проверим, верно ли выражение $\eqref{eq:1}$ при $n=k+1$.

$$1 \cdot 2^2+2 \cdot 3^2 + \ldots + (k-1)k^2+k(k+1)^2 = \cfrac{k(k+1)(k+2)(3k+5)}{12}.$$

Используя, выражение $\eqref{eq:2}$, получим:

$$\cfrac{k(k^2-1)(3k + 2)}{12} + k(k+1)^2 = \cfrac{k(k+1)(k+2)(3k+5)}{12}.$$

$$\cfrac{k(k+1)(k+2)(3k+5)}{12} = \cfrac{k(k+1)(k+2)(3k+5)}{12}.$$

Значит, выражение $\eqref{eq:1}$ верно.