Областная олимпиада по математике, 2005 год, 11 класс
Докажите равенство
$
1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 3^2 + \dots + \left( {n - 1} \right)n^2 = \frac{{n\left( {n^2 - 1} \right)\left( {3n + 2} \right)}}
{{12}}.
$
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
$1 \cdot 2^2+2 \cdot 3^2 + \ldots + (n-1)n^2 = \cfrac{n(n^2-1)(3n + 2)}{12}. \label{eq:1} \tag{1}$
Выражение $\eqref{eq:1}$ верно при $n=1$.
Пусть, выражение $\eqref{eq:1}$ верно при $n=k$, тогда получим:
$1 \cdot 2^2+2 \cdot 3^2 + \ldots + (k-1)k^2 = \cfrac{k(k^2-1)(3k + 2)}{12}. \label{eq:2} \tag{2}$
Проверим, верно ли выражение $\eqref{eq:1}$ при $n=k+1$.
$$1 \cdot 2^2+2 \cdot 3^2 + \ldots + (k-1)k^2+k(k+1)^2 = \cfrac{k(k+1)(k+2)(3k+5)}{12}.$$
Используя, выражение $\eqref{eq:2}$, получим:
$$\cfrac{k(k^2-1)(3k + 2)}{12} + k(k+1)^2 = \cfrac{k(k+1)(k+2)(3k+5)}{12}.$$
$$\cfrac{k(k+1)(k+2)(3k+5)}{12} = \cfrac{k(k+1)(k+2)(3k+5)}{12}.$$
Значит, выражение $\eqref{eq:1}$ верно.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.