Областная олимпиада по математике, 2005 год, 11 класс

Длины сторон треугольника — неравные между собой целые числа, а меньшая высота равна 8. Найдите расстояние между центрами описанной и вписанной в треугольник окружностей.

Комментарий/решение

Положим что $a<b<c$ где $a,b,c$ - стороны целочисленного треугольника , тогда меньшая высота будет спровоцирована на большую сторону , то есть $H_c=8$ . Пусть углы в треугольнике равны $\angle ABC = \angle B , \angle BAC=\angle A , \angle ACB = \angle C$ , тогда стороны $\dfrac{8}{sin \angle C}=a$ и $\dfrac{8}{sin \angle B}=b$ , третья стороны $ c = 8 \cdot \dfrac{sin(\angle B+C)}{sin \angle B \cdot sin \angle C} $ или что тоже самое $c=8 \cdot (\sqrt{\dfrac{1}{sin^2 \angle C}-1}+\sqrt{\dfrac{1}{sin^2 \angle B}-1}) = \sqrt{a^2-64}+\sqrt{a^2-64}$ .

Получим уравнение $\sqrt{a^2-64}+\sqrt{b^2-64}=c$ для чисел $a,b,c \in C $.

Рассмотрим слагаемые $\sqrt{a^2-64}=k$ откуда $(a-k)(a+k)=2^6$ , пусть $a-k=2^s$ и $a+k=2^{6-s}$ , откуда очевидно решение $s=1,6-s=5$ то есть числа $a-k=2,a+k=32$ , откуда $a_{1}=17,k_{1}=15$ так же есть $a_{2}=10,k_{2}=6$ для $s=2,6-s=4$ . То есть $a=10$ и $b=17$ при этом они удовлетворяют условию , то есть самая наименьшая высота равна $8$ , тогда третья сторона $k_{1}+k_{2} = 21$. Получим целочисленный треугольник со сторонами $10,17,21$ у которой высоты равны $8<\dfrac{168}{17} <\dfrac{168}{10}$ , расстояние между центром вписанной и описанной по формуле Эйлера $\sqrt{R^2-2R \cdot r} = \sqrt{(\dfrac{85}{8})^2-2 \cdot \dfrac{85}{8 } \cdot \dfrac{7}{2}} = \dfrac{\sqrt{2465}}{8}$ .