Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан облыстық олимпиада, 2004-2005 оқу жылы, 11 сынып


Үшбұрыштың қабырғалары өзара тең емес бүтін сандар, ал кіші биіктігі 8–ге тең. Үшбұрышқа іштей және сырттай сызылған шеңберлер центрлері арақашықтығын табыңыздар.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 5   1
8 года 7 месяца назад #

Положим что a<b<c где a,b,c - стороны целочисленного треугольника , тогда меньшая высота будет спровоцирована на большую сторону , то есть Hc=8 . Пусть углы в треугольнике равны ABC=B,BAC=A,ACB=C , тогда стороны 8sinC=a и 8sinB=b , третья стороны c=8sin(B+C)sinBsinC или что тоже самое c=8(1sin2C1+1sin2B1)=a264+a264 .

Получим уравнение a264+b264=c для чисел a,b,cC.

Рассмотрим слагаемые a264=k откуда (ak)(a+k)=26 , пусть ak=2s и a+k=26s , откуда очевидно решение s=1,6s=5 то есть числа ak=2,a+k=32 , откуда a1=17,k1=15 так же есть a2=10,k2=6 для s=2,6s=4 . То есть a=10 и b=17 при этом они удовлетворяют условию , то есть самая наименьшая высота равна 8 , тогда третья сторона k1+k2=21. Получим целочисленный треугольник со сторонами 10,17,21 у которой высоты равны 8<16817<16810 , расстояние между центром вписанной и описанной по формуле Эйлера R22Rr=(858)2285872=24658 .