Математикадан облыстық олимпиада, 2004-2005 оқу жылы, 11 сынып
Комментарий/решение:
Положим что a<b<c где a,b,c - стороны целочисленного треугольника , тогда меньшая высота будет спровоцирована на большую сторону , то есть Hc=8 . Пусть углы в треугольнике равны ∠ABC=∠B,∠BAC=∠A,∠ACB=∠C , тогда стороны 8sin∠C=a и 8sin∠B=b , третья стороны c=8⋅sin(∠B+C)sin∠B⋅sin∠C или что тоже самое c=8⋅(√1sin2∠C−1+√1sin2∠B−1)=√a2−64+√a2−64 .
Получим уравнение √a2−64+√b2−64=c для чисел a,b,c∈C.
Рассмотрим слагаемые √a2−64=k откуда (a−k)(a+k)=26 , пусть a−k=2s и a+k=26−s , откуда очевидно решение s=1,6−s=5 то есть числа a−k=2,a+k=32 , откуда a1=17,k1=15 так же есть a2=10,k2=6 для s=2,6−s=4 . То есть a=10 и b=17 при этом они удовлетворяют условию , то есть самая наименьшая высота равна 8 , тогда третья сторона k1+k2=21. Получим целочисленный треугольник со сторонами 10,17,21 у которой высоты равны 8<16817<16810 , расстояние между центром вписанной и описанной по формуле Эйлера √R2−2R⋅r=√(858)2−2⋅858⋅72=√24658 .
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.