Областная олимпиада по математике, 2005 год, 11 класс

Сравните числа $\dfrac{{\ln 2004}}{{\ln 2005}}$ и $\dfrac{{\ln 2005}}{{\ln 2006}}$.

Комментарий/решение

$\cfrac{\ln{2004}}{\ln{2005}} \lor \cfrac{\ln{2005}}{\ln{2006}}$

$\log_{2005}{2004} \lor \log_{2006}{2005}$

Так как $f(x)=\log_{x+1}{x}$ возрастающая функция, то

$\log_{2005}{2004} < \log_{2006}{2005}$, значит:

$\cfrac{\ln{2004}}{\ln{2005}} < \cfrac{\ln{2005}}{\ln{2006}}$

По мне, доказательство того, что функция $f(x)=\log_{x+1}x$ возрастающая, эта самая трудная часть решения задачи. У Вас есть идеи доказательства?

Возможно так:

$f(x)=\log_{x+1}{x}$

$f(x)=\cfrac{\ln{x}}{\ln{(x+1)}}$

$f'(x)=\cfrac{\cfrac{\ln{(x+1)}}{x}-\cfrac{\ln{x}}{x+1}}{\ln^2{(x+1)}}=\cfrac{\ln{\cfrac{\sqrt[x]{x+1}}{\sqrt[x+1]{x}}}}{\ln^2{(x+1)}}$

Докажем, что $\cfrac{\sqrt[x]{x+1}}{\sqrt[x+1]{x}}>1$.

$\cfrac{\sqrt[x]{x+1}}{\sqrt[x+1]{x}}>1$

$\sqrt[x]{x+1}>\sqrt[x+1]{x}$

$\sqrt[x(x+1)]{(x+1)^{x+1}}>\sqrt[x(x+1)]{x^{x}}$

Значит, $f'(x)>0$ и $f(x)$ - возрастающая функция.