Областная олимпиада по математике, 2005 год, 11 класс

В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ выполнено $AB^2+CD^2=AC^2+BD^2$. Найдите угол между сторонами $BC$ и $AD$.

Комментарий/решение

Ответ : 90 градусов

Решение. Опустим перпендикуляры из точек $A,B, C, D$ на оси $OX$ и $OY$. Пусть проекция отрезка $BC$ на ось $OY$ будет равна $d$, на $OX$- равна $b$; проекция отрезка $CD$ на ось $OX$ равна $c$,на $OY$ равна $e$;проекция $AD$ на ось $OY$ равна $f$,а проекция $AB$ на $OX$ равна $a$, тогда проекция $AD$ на ось $OX$ равна $a+b+c$, а проекция $AB$ на $OY$ равна $d+e+f$. С учетом этого, перепишем условие так : $$(d+e+f)^2+a^2+c^2+e^2=(e+f)^2+(a+b)^2+(b+c)^2+(d+e)^2$$ После упрощения получаем $b^2+ab+bc-df=0$; Теперь самое главное . Пусть угол пересечения прямой $BC$ с осью $OX$ равен $v$, а $AD$ пересечет ось $OX$ под углом $w$.Тогда искомый угол равен $v+w$. $\ tg (w+v)=\dfrac {\ tg v+\ tg w}{1-\ tg v\cdot {\ tg w}}$.

$\ tg( w+v)=\dfrac {ad+db+cd+fb}{ab+b^2+bc-df}=\dfrac {ad+db+cd+fb}{0}$

Отсюда видно, что тангенс искомого угла не определен,то есть искомый угол равен 90 градусов

Так как в любом четырёхугольнике справедливо

$\vec{AD}- \vec{BC} = \vec{CD} + \vec{AB}$

$\vec{BC}+ \vec{AD} = \vec{AC} + \vec{BD}$

$\vec{AB} - \vec{CD} = \vec{AC} - \vec{BD}$

Тогда с последнего с учетом $AB^2+CD^2=AC^2+BD^2$

Возведя в квадрат получаем что, скалярное произведение $(AB,CD)=(AC,BD)$

Тогда для первых двух возводя в квадрат и учитывая равенство скалярных произведений получаем что

$(AD,BC)=0$ тогда $\cos(AD,BC)=0$ Откуда $\alpha(AD,BC)=90^{\circ}$

Пусть $E, F$ - проекции точек $A, C$ на $BD$. Используя условие и теорему Пифагора $$BE^2+DF^2+AE^2+CF^2=CD^2+AB^2=BC^2+AD^2=BF^2+DE^2+AE^2+CF^2$$ то есть $BE^2+DE^2=BF^2+DF^2$, совмещая с $BE+DE=BF+DF$, решением системы получаем $BE=BF$, т.е. $E$ совпадает с $F$.

Ответ: 90 градусов