Областная олимпиада по математике, 2005 год, 11 класс

В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ выполнено $AB^2+CD^2=AC^2+BD^2$. Найдите угол между сторонами $BC$ и $AD$.

Комментарий/решение

Ответ : 90 градусов

Решение. Опустим перпендикуляры из точек $A,B, C, D$ на оси $OX $ и $OY $. Пусть проекция отрезка $BC $ на ось $OY $ будет равна $d $, на $OX $- равна $b $; проекция отрезка $CD $ на ось $OX $ равна $c $,на $OY $ равна $e $;проекция $AD $ на ось $OY $ равна $f $,а проекция $AB $ на $OX $ равна $a $, тогда проекция $AD $ на ось $OX $ равна $a+b+c $, а проекция $AB $ на $OY $ равна $d+e+f $. С учетом этого, перепишем условие так :$$(d+e+f)^2+a^2+c^2+e^2=(e+f)^2+(a+b)^2+(b+c)^2+(d+e)^2$$ После упрощения получаем $b^2+ab+bc-df=0$; Теперь самое главное . Пусть угол пересечения прямой $BC $ с осью $OX $ равен $v $, а $AD $ пересечет ось $OX $ под углом $w $.Тогда искомый угол равен $v+w $. $\ tg (w+v)=\dfrac {\ tg v+\ tg w}{1-\ tg v\cdot {\ tg w}}$.

$\ tg( w+v)=\dfrac {ad+db+cd+fb}{ab+b^2+bc-df}=\dfrac {ad+db+cd+fb}{0}$

Отсюда видно, что тангенс искомого угла не определен,то есть искомый угол равен 90 градусов

Так как в любом четырёхугольнике справедливо

$\vec{AD}- \vec{BC} = \vec{CD} + \vec{AB}$

$\vec{BC}+ \vec{AD} = \vec{AC} + \vec{BD}$

$\vec{AB} - \vec{CD} = \vec{AC} - \vec{BD}$

Тогда с последнего с учетом $AB^2+CD^2=AC^2+BD^2$

Возведя в квадрат получаем что, скалярное произведение $(AB,CD)=(AC,BD)$

Тогда для первых двух возводя в квадрат и учитывая равенство скалярных произведений получаем что

$(AD,BC)=0$ тогда $\cos(AD,BC)=0$ Откуда $\alpha(AD,BC)=90^{\circ}$

Пусть $E, F$ - проекции точек $A, C$ на $BD$. Используя условие и теорему Пифагора $$BE^2+DF^2+AE^2+CF^2=CD^2+AB^2=BC^2+AD^2=BF^2+DE^2+AE^2+CF^2$$ то есть $BE^2+DE^2=BF^2+DF^2$, совмещая с $BE+DE=BF+DF$, решением системы получаем $BE=BF$, т.е. $E$ совпадает с $F$.

Ответ: 90 градусов