Областная олимпиада по математике, 2005 год, 11 класс

Доказать справедливость неравенства $\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma \leq \dfrac{3\sqrt3}{2}$, где $\alpha, \beta, \gamma$ — внутренние углы некоторого треугольника.

Комментарий/решение

1)Можно воспользоваться известным неравенством , а именно $4\sqrt{3} S \leq \dfrac{9abc}{a+b+c} (1)$ , тогда данное неравенство запишется в виде , как $a+b+c \leq R \sqrt{27}$ или что тоже самое $a+b+c \leq \dfrac{abc \cdot \sqrt{27}}{4S}$ а это в свою очередь эквивалентно (1)$

2) Если обозначить $sin \alpha = x , sin \beta = y$ , а само выражение $S$ получим $S=x \cdot ( \sqrt{1-y^2}+1)+y \cdot ( \sqrt{1-x^2}+1) \ \leq \dfrac{\sqrt{27}}{4}$ . По КБШ

$S \leq \sqrt{(x^2+y^2) \cdot ( (\sqrt{1-y^2}+1)^2 + (\sqrt{1-x^2}+1)^2 ) }=A$ , если $x<y$ то $A \leq 2\sqrt{y^2 \cdot (\sqrt{1-y^2}+1)^2 }$ , так же и при $y<x$. Значит максимальное значение достигается при $x=y$ , тогда $S=2x(\sqrt{1-x^2}+1)$ , можно исследовать на экстремум , через производную , максимальное достигается при $x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , которая равна $S=\dfrac{\sqrt{27}}{4}$ .

3) Либо через неравенство Йенсена , функция $sin \alpha$ удовлетворяет всем требованиям , то есть она выпукла на промежутке $0< \alpha < \pi$

Тогда $f( \alpha)+f ( \beta ) + f( \gamma) \leq 3f( \dfrac{ \alpha + \beta + \gamma}{3}) = sin(60^{\circ}) = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

Задача 10.39 (Прасолов В.В. Задачи по планиметрии.)