Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2013 жыл

Есеп №1. Үстел үстінде 100 тас үйіндісі жатыр. Екі ойынша кезектесіп жүріс жасайды. Бір жүрісте, 99 үйіндіден артық емес үйінділерден кез-келген мөлшерде (нөлдік емес) тас алуға болады. Жүрісі қалмаған ойыншы жеңіледі. Әділ ойында, кез-келген алғашқы жаңдайда, бастаған ойыншы немесе оның қарсыласы жеңетінін анықтаңыз. ( К. Кохась )
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$2\angle XBY=2\angle XDY=\angle ABC$ және

$Y$ нүктесі дөңес

$BXDC$ төртбұрышының ішінде жататындай,

$ABCD$ ромбының ішінен

$X$ және

$Y$ нүктелері алынсын.

$AX$ және

$CY$ түзулері параллель екенін дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение

Есеп №3. Көршілес төбелер әртүрлі түсті болатындай, байланысқан графтың төбелерін

$n+1$ түстен кем түске бояуға болмайды. Графтан,

$n(n-1)/2$ қабырғаны, байланысты үзбей алып тастауға болатынын дәлелдеңіз. ( В. Дольников )
комментарий/решение

Есеп №4.

$xyz=1$ болатындай,

$x$ ,

$y$ ,

$z$ оң сандары үшін келесі теңсіздік орындалатынын дәлелдеңіз:

$\dfrac{{{x}^{3}}}{{{z}^{2}}+y}+\dfrac{{{y}^{3}}}{{{y}^{2}}+z}+\dfrac{{{z}^{3}}}{{{z}^{2}}+x}\ge \dfrac{3}{2}$ . ( А. Голованов )
комментарий/решение(4)

Есеп №5.

$P$ ,

$Q$ ,

$R$ ,

$S$ квадрат үшмүшелері болса, кез-келген төртінші дәрежелі үшмүшені

$P\left( Q\left( x \right) \right)+R\left( S\left( x \right) \right)$ түрінде жазуға болатынын дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)

Есеп №6.

${{p}^{2}}-pq-{{q}^{3}}=1$ теңдеуін жай сандар үшін шешіңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение(2)

Есеп №7.

${{A}_{1}}$ ,

${{A}_{2}}$ ,

${{A}_{3}}$ ,

${{A}_{4}}$ нүктелері қабырғасы 1 болатын дұрыс тертаэдірдің төбелері.

${{B}_{1}}$ және

${{B}_{2}}$ нүктелері

$A_1A_2A_3$ жазықтығымен және радиусы 1, центрлері

${{A}_{1}}$ ,

${{A}_{2}}$ ,

${{A}_{3}}$ болатын сфералармен шектелген фигураның ішінде орналасқан.

${{B}_{1}}{{B}_{2}} < \max ({{B}_{1}}{{A}_{1}},{{B}_{1}}{{A}_{2}},{{B}_{1}}{{A}_{3}},{{B}_{1}}{{A}_{4}})$ екенін дәлелдеңіз. ( А. Купавский )
комментарий/решение

Есеп №8. Әрбір бала кем-дегенде бір карточка алатындай,

$k$ балаға,

$1\le k\le {{2}^{n}}$ , 1-ден

${{2}^{n}}$ -не дейін нөмірленген карточкалар таратылды. Карточкаларды тарату әдістерінің саны

${{2}^{k-1}}$ -не бөлінетіні, алайда

${{2}^{k}}$ -не бөлінбейтінін дәлелдеңіз. ( М. Иванов )
комментарий/решение