қазақша
русскийМатематикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2013 жыл
Есеп №1. Үстел үстінде 100 тас үйіндісі жатыр. Екі ойынша кезектесіп жүріс жасайды. Бір жүрісте, 99 үйіндіден артық емес үйінділерден кез-келген мөлшерде (нөлдік емес) тас алуға болады. Жүрісі қалмаған ойыншы жеңіледі. Әділ ойында, кез-келген алғашқы жаңдайда, бастаған ойыншы немесе оның қарсыласы жеңетінін анықтаңыз.
(
К. Кохась
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $2\angle XBY=2\angle XDY=\angle ABC$ және $Y$ нүктесі дөңес $BXDC$ төртбұрышының ішінде жататындай, $ABCD$ ромбының ішінен $X$ және $Y$ нүктелері алынсын. $AX$ және $CY$ түзулері параллель екенін дәлелдеңіз.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №3. Көршілес төбелер әртүрлі түсті болатындай, байланысқан графтың төбелерін $n+1$ түстен кем түске бояуға болмайды. Графтан, $n(n-1)/2$ қабырғаны, байланысты үзбей алып тастауға болатынын дәлелдеңіз.
(
В. Дольников
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. $xyz=1$ болатындай, $x$, $y$, $z$ оң сандары үшін келесі теңсіздік орындалатынын дәлелдеңіз: $\dfrac{{{x}^{3}}}{{{z}^{2}}+y}+\dfrac{{{y}^{3}}}{{{y}^{2}}+z}+\dfrac{{{z}^{3}}}{{{z}^{2}}+x}\ge \dfrac{3}{2}$.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №5. $P$, $Q$, $R$, $S$ квадрат үшмүшелері болса, кез-келген төртінші дәрежелі үшмүшені $P\left( Q\left( x \right) \right)+R\left( S\left( x \right) \right)$ түрінде жазуға болатынын дәлелдеңіз.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. ${{p}^{2}}-pq-{{q}^{3}}=1$ теңдеуін жай сандар үшін шешіңіз.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №7. ${{A}_{1}}$, ${{A}_{2}}$, ${{A}_{3}}$, ${{A}_{4}}$ нүктелері қабырғасы 1 болатын дұрыс тертаэдірдің төбелері. ${{B}_{1}}$ және ${{B}_{2}}$ нүктелері $A_1A_2A_3$ жазықтығымен және радиусы 1, центрлері ${{A}_{1}}$, ${{A}_{2}}$, ${{A}_{3}}$ болатын сфералармен шектелген фигураның ішінде орналасқан. ${{B}_{1}}{{B}_{2}} < \max ({{B}_{1}}{{A}_{1}},{{B}_{1}}{{A}_{2}},{{B}_{1}}{{A}_{3}},{{B}_{1}}{{A}_{4}})$ екенін дәлелдеңіз.
(
А. Купавский
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №8. Әрбір бала кем-дегенде бір карточка алатындай, $k$ балаға,$1\le k\le {{2}^{n}}$, 1-ден ${{2}^{n}}$-не дейін нөмірленген карточкалар таратылды. Карточкаларды тарату әдістерінің саны ${{2}^{k-1}}$-не бөлінетіні, алайда ${{2}^{k}}$-не бөлінбейтінін дәлелдеңіз.
(
М. Иванов
)
комментарий/решение
комментарий/решение