Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2008 год

Задача №1. На доске записаны несколько иррациональных чисел. Известно, что для любых двух чисел $a$ и $b$, записанных на доске, хотя бы одно из чисел $a\over b+1$ и $b\over a+1$ рационально. Какое наибольшее количество чисел может быть записано? ( А. Голованов )
комментарий/решение

Задача №2. Можно ли расставить по кругу все составные натуральные числа, не превосходящие $10^6$, так, чтобы никакие два соседних числа не были взаимно просты? ( А. Голованов )
комментарий/решение

Задача №3. Точка $I_1$ симметрична центру $I$ вписанной окружности треугольника $ABC$ относительно стороны $BC$. Описанная окружность треугольника $BCI_1$ вторично пересекает прямую $II_1$ в точке $P$. Известно, что $P$ лежит вне вписанной окружности треугольника $ABC$. Из точки $P$ проведены касательные к этой окружности, которые касаются ее в точках $X$ и $Y$. Докажите, что прямая $XY$ содержит среднюю линию треугольника $ABC$. ( Л. Емельянов )
комментарий/решение

Задача №4. Компания людей называется хорошей, если ее членов можно рассадить по нескольким комнатам так, чтобы в каждой комнате люди были попарно незнакомы, но при этом можно было выбрать по одному человеку из каждой комнаты так, чтобы они были попарно знакомы.
Компания называется совершенной, если она хорошая, и любой набор ее членов также образует хорошую компанию.
На вечеринку должна была собраться совершенная компания. Но один из ее членов Вася привел на вечеринку своего знакомого Петю, который не ожидался заранее, и познакомил его со всеми своими знакомыми. Докажите, что получившаяся компания тоже оказалась совершенной. ( К. Берж )
комментарий/решение

Задача №5. В городе Гамильтоновске каждая улица соединяет две площади, причем с любой площади можно по улицам попасть на любую другую. Губернатор обнаружил, что если закрыть на ремонт все площади произвольного маршрута, который не проходит ни по какой площади дважды, то все равно с любой из оставшихся площадей можно будет попасть на любую другую. Докажите, что существует маршрут, который проходит по каждой площади города ровно по одному разу и заканчивается там же, где начинается. ( С. Берлов )
комментарий/решение

Задача №6. Множество $X$, состоящее из натуральных чисел, называется {\it симпатичным}, если для любых $a$, $b\in X$ ровно одно из чисел $a+b$ и $|a-b|$ принадлежит $X$ (числа $a$ и $b$ могут совпадать). Найдите количество симпатичных множеств, содержащих число 2008. ( Ф. Петров )
комментарий/решение

Задача №7. В распоряжении грузчика есть две тележки: одна выдерживает 8 кг, а другая — $9$ кг. На складе лежит несколько (конечное число) мешков с песком. Известно, что их общая масса больше, чем $17$ кг, а каждый мешок весит не больше 1 кг. Какую наибольшую массу песка грузчик заведомо сможет загрузить на эти две тележки, независимо от того, какие именно мешки лежат на складе? ( В. Франк, Д. Ростовский, М. Иванов )
комментарий/решение

Задача №8. Дан выпуклый шестиугольник. Пусть $s$ — сумма длин трех отрезков, соединяющих середины его противоположных сторон. Докажите, что в шестиугольнике существует точка, сумма расстояний от которой до прямых, содержащих его стороны, не превосходит $s$.
комментарий/решение