Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2008 жыл

Есеп №1. Тақтаға бірнеше иррационал сандар жазылды. Кез келген $a$ және $b$ сандары үшін, $\dfrac{a}{b+1}$ және $\dfrac{b}{a+1}$ сандарының кем дегенде біреуі рационал екені белгілі. Тақтада ең көп дегенде неше сан жазылуы мүмкін? ( А. Голованов )
комментарий/решение

Есеп №2. Қатар орналасқан екі сан өзара жай болмайтындай, шеңбер бойына, ${{10}^{6}}$ санынан артық емес құрама сандарды орналастыруға болады ма? ( А. Голованов )
комментарий/решение

Есеп №3. ${{I}_{1}}$ нүктесі $BC$ қабырғасына қатысты $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің центрі $I$ нүктесіне симметриялы. $BC{{I}_{1}}$ шеңбері, $I{{I}_{1}}$ түзуін екінші рет $P$ нүктесінде қияды. $P$ нүктесі, $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің сыртында орналасқаны белгілі. $P$ нүктесінен осы шеңберге, $X$ және $Y$ нүктелерінде жанамалар жүргізілді. $XY$ түзуі $ABC$ үшбұрышының орта сызығын қамтитынын дәлелдеңіз. ( Л. Емельянов )
комментарий/решение

Есеп №4. Егер топ мүшелерін бірнеше бөлмелерге, әрбір бөлмедегі адамдар таныс емес, алайда әр бөлмеден бір адамды алғанда, олар өзара таныс болатындай таңдай алуға болатын болса, адамдар тобы жақсы деп аталады.
Адамдар тобы жетілген деп аталады, егер ол жақсы және оның мүшелерінен құралған кез келген жиын жақсы болса.
Сауық кешіне жетілген адамдыр тобы келуі тиіс еді. Алайда, осы топтын мүшесі Вася, өзінің танысы, күтілмеген адам, Петяны кешке алып келді және оны өзінің таныстарымен таныстырды. Пайда болған адамдар жиыны жетілген екенін дәлелдеңіз. ( К. Берж )
комментарий/решение

Есеп №5. Гамильтоновск қаласында, әрбір көше екі алаңды қосады және әрбір алаңнан басқа алаңға көшелер арқылы жетуге болады. Губернатор, егер бір алаңнан екі рет өтпейтін, бір қозғалыс бағытындағы аймақтарды жөндеуге жауып тастаса, кез келген қалған аймақтардан басқа аймақтарға жетуге болатынын байқады. Әрбір аймақтан бір рет өтетін және басталған жерінен аяқталатын қозғалыс бағыты бар екенін дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение

Есеп №6. Егер кез келген $a,b\in X$ үшін, $a+b$ және $\left| a-b \right|$ сандарының біреуі $X$ жиынына тиісті болса, натурал сандардан тұратын $X$ жиыны сүйкімді деп аталады ($a$ және $b$ сандары сәйкес келуі мүмкін). 2008 санын қамтитын, сүйкімді жиындар санын табыңыз. ( Ф. Петров )
комментарий/решение

Есеп №7. Жүк тиеушіде 8 кг жүкке және 9 кг жүкке арналған арбалар бар. Қоймада құм толтырылған бірнеше (шектеулі) қапшықтар жатыр. Осы қапшықтардың барлығының салмағы 17 килограмнан артық және әрбір қапшық 1 килограмнан аспайтыны белгілі. Қоймада қандай қапшықтардың жатқанына байланыссыз, жүк тиеуші осы екі арбаға ең көп дегенде қанша килограмм құмды тией алады? ( В. Франк, Д. Ростовский, М. Иванов )
комментарий/решение

Есеп №8. Дөңес алтыбұрыш берілсін. $s$, қарама-қарсы орналасқан қабырғалардың орталарын қосатын 3 кесіндінің қосындысы болсын. Осы алтыбұрыштың қабырғаларын қамтитын түзулерден, нүктеге дейінгі қашықтықтардың қосындысы, $s$ шамасынан аспайтындай, алтыбұрыштың ішінен нүкте бар екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение