Республиканская олимпиада по математике, 2005 год, 10 класс

Задача №1. При каких нижеперечисленных значениях

$A$ ,

$B$ ,

$C$ система уравнений

$\left\{ \begin{array}{rcl} (x - y)(z - t)(z - x)(z - t)^2 = A, \\ (y - z)(t - x)(t - y)(x - z)^2 = B,\\ (x - z)(y - t)(z - t)(y - z)^2 = C,\\ \end{array} \right.$ имеет решение в вещественных числах, и при каких нет?
а)

$A=2$ ,

$B=8$ ,

$C=6$ ; б)

$A=2$ ,

$B=6$ ,

$C=8$ .
комментарий/решение

Задача №2. Докажите неравенство

$ab + bc + ac \geq 2(a + b + c)$ для положительных действительных чисел

$a$ ,

$b$ ,

$c$ если известно, что

$a + b + c + 2 = abc$ . ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1)

Задача №3. Найдите все функции

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ , где

$\mathbb{R}$ — поле вещественных чисел, удовлетворяющие тождеству

$f(xy+f(x))=xf(y)+f(x)$ для любых

$x,y\in \mathbb{R}$ . ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(2)

Задача №4. Известно, что

$p$ ,

$p+2$ ,

$p+2^n$ ,

$p+2+2^n$ — простые числа. Найдите возможные целые значения

$n$ .
комментарий/решение(2)

Задача №5. В остроугольном треугольнике

$ABC$ угол

$\angle A = 45^\circ$ , а высоты

$BB_1$ , и

$CC_1$ пересекаются в точке

$H$ . Докажите, что прямые

$BC$ ,

$B_1C_1$ и прямая

$l$ , проходящая через точку

$A$ перпендикулярно

$AC$ , пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

$H$ — середина отрезка

$BB_1$ .
комментарий/решение(1)

Задача №6. Найдите все тройки натуральных чисел, удовлетворяющих свойству: произведение любых двух чисел при делении на третье число дает остаток 1.
комментарий/решение(2)

Задача №7. Обозначим через

$S_i$ , множество

$i$ -элементных подмножеств множества

$M = \{1, 2, \ldots , n\}$ для каждого

$0\leq i\leq n$ . Пусть

$k < n/2$ . Докажите, что существует функция

$f:S_k \to S_{k + 1}$ удовлетворяющая следующим условиям:
а) если

$X \neq Y \in S_k$ , то

$f(X) \neq f(Y)$ ;
б)

$X \subset f(X)$ для любого

$X \in S_k$ .
комментарий/решение

Задача №8. На окружности радиуса 1 отмечены

$n$ точек. Докажите, что существует не более

$\dfrac{n^2}{3}$ различных отрезков, длины которых больше

$\sqrt2$ , с концами в этих точках.
комментарий/решение(1)