Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Республиканская олимпиада по математике, 2005 год, 10 класс


На окружности радиуса 1 отмечены n точек. Докажите, что существует не более n23 различных отрезков, длины которых больше 2, с концами в этих точках.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   0
5 года 11 месяца назад #

Пусть имеется точка x проведём через неё диаметр и перпендикулярный диаметр (будет его называть «l»).

Разделим окружность двумя диаметрами на четыре равные части, пусть слева направо начиная с верхней части будут расположены эти n точек x1,x2,x3,...xn .

Из условия требуется найти то максимальное количество точек (для каждого x1,x2,...xn ) которые будут располагаться за l так как нужно найти отрезки которые больше 2=12+12 и разделить на 2 это и будет максимальное количество нужных отрезков.

Рассмотрим три случая

1) Пусть точки будут располагаться на окружности по разные стороны от диаметра , если в одной части будут таких a количество точек, то на второй na тогда в сумме a(na) рассмотрев как функцию f(a)=ana2 откуда при a=[n2] достигается максимум fmax=[n24] откуда n24<n23 или в случае нечётного n214<n23

для n>0.

2) Пусть точки оказались в четырёх равных частях на которые он был поделён, положим количество точек сверху по часовой на каждой четвертях фиксировано равны a,b,c,d и пусть они располагаются так чтобы (b,c,d) и (a,c,d) лежали за l относительно a и b соответсвенно, тогда c,d лежат в одной плоскости в l относительно друг друга, докажем что максимум для этих количеств точек будет лежат именно в таком расположений.

Выпишем количество точек которые потенциальное будут удовлетворят условию задачи (лежат за l для каждой точки из a,b,c,d) для одной из a это сумма b+c+d значит общее количество a(b+c+d) так же для остальных b(a+c+d),c(a+b+c),d(a+b+c) пусть в сумме все четыре слагаемых дадут s тогда нужное количество отрезов равна s2cd при условий abcd тогда докажем что при выше описанном расположений точек на окружности, построение достигнет максимума, для этого требуется доказать что при других расположений общая сумма точек лежащих «в l» для каждой точки будет больше 2cd, пусть некоторое количество точек в d не лежит «в l» относительно точек в части c тогда он лежит в a, пусть это под часть равна y тогда общее количество точек лежащих в l относительно c,d как минимум 2c(dy)+2ya=2(cdcy+ay)2cd или a>c что верно так учитывая вышеописанное условие, аналогично для других секторов.

Значит задача сводится к максимизации функций s2cd=2(ab+ac+ad+bc+bd) или сразу поделив найдём количество точек которые больше 2 то есть fmax=ab+ac+ad+bc+bd при условий a+b+c+d=n

Преобразуя f=a(b+c+d)+b(c+d)=a(na)+b(nab) тогда a=±3b2+2bn+n24fb+n2

или f3b2+2bn+n24 но при b=n3 правая часть достигает максимума, значит при a=b=n3 значение fmax=n23 и c+d=n3

3) когда какие то точки лежат только на трёх частях окружности, здесь ответ так же fmax=n23 так как в предыдущей части c+d=n3.