Математикадан республикалық олимпиада, 2004-2005 оқу жылы, 10 сынып

Есеп №1. Төменде көрсетілген

$A,B,C$ сандарының қандай мәндері үшін

$\left\{ \begin{array}{l} (x - y)(y - z)(z - x){(z - t)^2} = A,\\ (y - z)(z - t)(t - y){(x - z)^2} = B,\\ (t - x)(x - z)(z - t){(y - z)^2} = C, \end{array} \right.$ теңдеулер жүйесінің шешімі табылады, ал қандай мәндері үшін оның шешімі жоқ?
a)

$A=2,\text{ }B=8,\text{ }C=6$ ; b)

$A=2,\text{ }B=6,\text{ }C=8$ .
комментарий/решение

Есеп №2. Егер

$a+b+c+2=abc$ екені белгілі болса, оң нақты

$a,b,c$ сандары үшін

$ab+bc+ca\ge 2(a+b+c)$ теңсіздігін дәлелдеңіздер. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Кез келген

$x,y\in \mathbb{R}$ үшін

$f(xy+f(x))=xf(y)+f(x)$ тепе-теңдігін қанағаттандыратын барлық

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функциясын табыңыздар, мұндағы

$\mathbb{R}$ — нақты сандар жиыны. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(2)

Есеп №4. Егер

$p,\text{ }p+2,\text{ }p+{{2}^{n}},\text{ }p+2+{{2}^{n}}$ жай сандар екені белгілі болса,

$n$ -ның бүтін мүмкін мәндерін табыңыздар.
комментарий/решение(2)

Есеп №5. Сүйірбүрышты

$ABC$ үшбұрышында

$\angle A=45{}^\circ$ , ал

$B{{B}_{1}}$ және

$C{{C}_{1}}$ биіктіктері

$H$ нүктесінде қиылысады. Оңда

$BC$ ,

${{B}_{1}}{{C}_{1}}$ түзулері мен

$A$ нүктесі арқылы өтетін

$AC$ -ға перпендикуляр

$l$ түзүінің бір нүктеде қиылысуы үшін

$H$ -тың

$B{{B}_{1}}$ кесіндісінің ортасы болуы қажет және жеткілікті екенін дәлелденіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Мына шартты қанағаттандыратын барлық натурал сандар үштіктерін табыңдар: олардың кез келген екеуінің көбейтіндісін үшіншісіне бөлгенде 1 қалдық береді.
комментарий/решение(2)

Есеп №7. Әрбір

$0\le i\le n$ үшін арқылы

${{S}_{1}}$ арқылы

$M=\left\{ 1,2,\ldots ,n \right\}$ жиынының

$i$ элементтен тұратын ішкі жиындарының жиынын белгілейік. Егер

$k < n/2$ болса төмендегі шарттарды қанағаттандыратын

$f:{{S}_{k}}\to {{S}_{k+1}}$ функциясы табылатынын дәледе:
а) егер

$X\ne Y\in {{S}_{k}}$ болса, онда

$f(X)\ne f(Y)$ ;
б) әрбір

$X\in {{S}_{k}}$ үшін

$X\subset f(X)$ .
комментарий/решение

Есеп №8. Радиусы 1-ге тең шеңберде

$n$ нүкте белгіленген. Ұштары осы нүктелерде жататын, ұзындықтары

$\sqrt{2}$ -ден үлкен әртүрлі кесінділердің саны

${{n}^{2}}/3$ -тен аспайтынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)