қазақша
русскийМатематикадан республикалық олимпиада, 2004-2005 оқу жылы, 10 сынып
Есеп №1. Төменде көрсетілген $A,B,C$ сандарының қандай мәндері үшін
\[\left\{ \begin{array}{l}
(x - y)(y - z)(z - x){(z - t)^2} = A,\\
(y - z)(z - t)(t - y){(x - z)^2} = B,\\
(t - x)(x - z)(z - t){(y - z)^2} = C,
\end{array} \right.\]
теңдеулер жүйесінің шешімі табылады, ал қандай мәндері үшін оның шешімі жоқ?
a) $A=2,\text{ }B=8,\text{ }C=6$; b) $A=2,\text{ }B=6,\text{ }C=8$.
комментарий/решение
a) $A=2,\text{ }B=8,\text{ }C=6$; b) $A=2,\text{ }B=6,\text{ }C=8$.
комментарий/решение
Есеп №2. Егер $a+b+c+2=abc$ екені белгілі болса, оң нақты $a,b,c$ сандары үшін $ab+bc+ca\ge 2(a+b+c)$ теңсіздігін дәлелдеңіздер.
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Кез келген $x,y\in \mathbb{R}$ үшін $f(xy+f(x))=xf(y)+f(x)$ тепе-теңдігін қанағаттандыратын барлық $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функциясын табыңыздар, мұндағы $\mathbb{R}$ — нақты сандар жиыны.
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №4. Егер $p,\text{ }p+2,\text{ }p+{{2}^{n}},\text{ }p+2+{{2}^{n}}$ жай сандар екені белгілі болса, $n$-ның бүтін мүмкін мәндерін табыңыздар.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №5. Сүйірбүрышты $ABC$ үшбұрышында $\angle A=45{}^\circ $, ал $B{{B}_{1}}$ және $C{{C}_{1}}$ биіктіктері $H$ нүктесінде қиылысады. Оңда $BC$, ${{B}_{1}}{{C}_{1}}$ түзулері мен $A$ нүктесі арқылы өтетін $AC$-ға перпендикуляр $l$ түзүінің бір нүктеде қиылысуы үшін $H$-тың $B{{B}_{1}}$ кесіндісінің ортасы болуы қажет және жеткілікті екенін дәлелденіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. Мына шартты қанағаттандыратын барлық натурал сандар үштіктерін табыңдар: олардың кез келген екеуінің көбейтіндісін үшіншісіне бөлгенде 1 қалдық береді.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №7. Әрбір $0\le i\le n$ үшін арқылы ${{S}_{1}}$ арқылы $M=\left\{ 1,2,\ldots ,n \right\}$ жиынының $i$ элементтен тұратын ішкі жиындарының жиынын белгілейік. Егер $k < n/2$ болса төмендегі шарттарды қанағаттандыратын $f:{{S}_{k}}\to {{S}_{k+1}}$ функциясы табылатынын дәледе:
а) егер $X\ne Y\in {{S}_{k}}$ болса, онда $f(X)\ne f(Y)$;
б) әрбір $X\in {{S}_{k}}$ үшін $X\subset f(X)$.
комментарий/решение
а) егер $X\ne Y\in {{S}_{k}}$ болса, онда $f(X)\ne f(Y)$;
б) әрбір $X\in {{S}_{k}}$ үшін $X\subset f(X)$.
комментарий/решение
Есеп №8. Радиусы 1-ге тең шеңберде $n$ нүкте белгіленген. Ұштары осы нүктелерде жататын, ұзындықтары $\sqrt{2}$-ден үлкен әртүрлі кесінділердің саны ${{n}^{2}}/3$-тен аспайтынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)