22-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2026 год

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Барон Мюнхгаузен заявляет, что нарисовал два разных и не противоположных луча $OA$ и $OB$ с общим началом $O$. На луче $OA$ он отметил 10 точек $K_1$, $\ldots$, $K_5$, $L_1$, $\ldots$, $L_5$, а на луче $OB$ — 10 точек $M_1$, $\ldots$, $M_5$, $N_1$, $\ldots$, $N_5$ так, что все 20 точек различны. Барон говорит также, что $K_iM_j=L_iN_j$ при всех $i$ и $j$. Могут ли слова барона оказаться правдой? ( И. Богданов )
комментарий/решение(1)

Задача №2. Натуральное число $n$ можно представить и в виде $[a\sqrt{10}]$ с некоторым натуральным $a$, и в виде $[b\sqrt{11}]$ с некоторым натуральным $b$. Докажите, что $n$ можно представить в виде $[c(11\sqrt{10}-10\sqrt{11})]$ с некоторым натуральным $c$. ( А. Голованов )
комментарий/решение(3)

Задача №3. Даны натуральные $m>k>1$. На доске $N\times N$ расставлены $N$ фишек так, что в каждой строке и в каждом столбце есть ровно по одной фишке. Оказалось, что доску нельзя разрезать по сторонам клеток одной вертикальной и одной горизонтальной прямой на четыре прямоугольника и выбрать из этих четырёх прямоугольников два так, что
   (i) выбранные прямоугольники не имеют общей стороны, и
   (ii) в одном из них не менее $m$ фишек, а в другом не менее $k$.
   При каком наибольшем $N$ это возможно? ( И. Богданов, Г. Челноков )
комментарий/решение(2)

Задача №4. Дано натуральное $v\geqslant 4$. При каком наименьшем $e$ в каждом связном графе на $v$ вершинах с $e$ рёбрами существует цикл, после удаления всех рёбер которого граф остаётся связным? (После удаления рёбер цикла в графе остаются все его вершины, в том числе и те, в которых удалены все рёбра.) ( Г. Челноков )
комментарий/решение(1)

Задача №5. Точки $O$ и $H$ — центр описанной окружности и точка пересечения высот неравнобедренного треугольника $ABC$. Прямая $OH$ пересекает отрезки $AB$ и $AC$ в точках $B'$ и $C'$ соответственно. Допустим, что описанные окружности $\Gamma$ и $\Omega$ треугольников $AB'C'$ и $ABC$ соответственно пересекаются в точке $S\ne A$. Касательная, проведённая к $\Gamma$ в точке $A$, пересекает $\Omega$ в точке $K\ne A$. Прямая $AH$ пересекает $\Omega$ в точке $M\ne A$. Докажите, что прямые $KH$, $BC$ и $SM$ пересекаются в одной точке. ( М. Нсанбаев )
комментарий/решение(3)

Задача №6. Для многочлена $P(x)$ с вещественными коэффициентами нашлись четыре различных непостоянных многочлена $f_1(x)$, $f_2(x)$, $f_3(x)$ и $f_4(x)$ с вещественными коэффициентами, старшие коэффициенты которых положительны, $f_1(x)\cdot f_2(x)=f_3(x)\cdot f_4(x)$ и $P(f_1(x))\cdot P(f_2(x))=P(f_3(x))\cdot P(f_4(x))$ при всех вещественных $x$. Найдите все многочлены $P(x)$, для которых это возможно. ( А. Голованов, Navid Safaei )
комментарий/решение

результаты