қазақша
русский22-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2026 год
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. Барон Мюнхгаузен ортақ төбесі $O$ болатын, бір-біріне қарама-қарсы емес әртүрлі екі $OA$ және $OB$ сәулелерін салдым деп мәлімдейді. Ол $OA$ сәулесінде ол $K_1$, $\ldots$, $K_5$, $L_1$, $\ldots$, $L_5$ деген 10 нүктені, ал $OB$ сәулесінде $M_1$, $\ldots$, $M_5$, $N_1$, $\ldots$, $N_5$ деген 10 нүктені белгіледі, әрі осы 20 нүктенің барлығы әртүрлі. Барон сондай-ақ барлық $i$ және $j$ үшін $K_iM_j = L_iN_j$ орындалады дейді. Баронның сөздері шын болуы мүмкін бе?
(
И. Богданов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Қандай да натурал $n$ санын $[a\sqrt{10}]$ түрінде де, сондай-ақ $[b\sqrt{11}]$ түрінде де өрнектеуге болады, бұл жерде $a$, $b$ — қандай да натурал сандар. Осы $n$ санын $[c(11\sqrt{10}-10\sqrt{11})]$ түрінде де өрнектеуге болатынын дәлелдеңіз, бұл жерде $c$ — қандай да натурал сан.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №3. Натурал $m>k>1$ сандары берілген. $N\times N$ өлшемді тақтада әр қатарда және әр бағанда дәл бір фишкадан болатындай етіп $N$ фишка орналастырылған. Белгілі болғандай, тақтаны бір вертикаль және бір горизонталь түзу арқылы (ұяшықтардың қабырғалары бойымен) төрт тіктөртбұрышқа қалай бөлмесек те, төртуінің бірінде кемінде $m$ фишка, ал екіншісінде кемінде $k$ фишка болатындай ортақ қабырғасы болмайтын екі тіктөртбұрыш табылмайды. Мұндай жағдай қандай ең үлкен $N$ үшін мүмкін?
(
И. Богданов,
Г. Челноков
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №4. Натурал $v\geqslant 4$ саны берілген. Қандай ең кіші $e$ үшін, төбе саны $v$ және қабырға саны $e$ болатын кез келген байланысқан графта цикл табылып, кейін сол циклдан барлық қабырғаларын жойып тастағаннан кейін де, граф байланысқан болып қалады? (Циклдің қабырғаларын жойып тастағаннан кейін, графтың барлық төбелері сақталады, соның ішінде барлық қабырғалары жойылған төбелер де қалады.)
(
Г. Челноков
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $O$ және $H$ нүктелері — теңбүйірлі емес $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі мен биіктіктерінің қиылысу нүктесі. $OH$ түзуі $AB$ және $AC$ кесінділерін сәйкесінше $B'$ және $C'$ нүктелерінде қиып өтеді. $AB'C'$ және $ABC$ үшбұрыштарына сырттай сызылған, сәйкесінше, $\Gamma$ және $\Omega$ шеңберлері $S\ne A$ нүктесінде қиылысады. $\Gamma$-ға $A$ нүктесінде жүргізілген жанама $\Omega$-ны $K\ne A$ нүктесінде қияды. $AH$ түзуі $\Omega$-ны $M\ne A$ нүктесінде қияды. $KH$, $BC$ және $SM$ түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіз.
(
М. Нсанбаев
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №6. Коэффициенттері нақты сандар болатын $P(x)$ көпмүшесі үшін, $f_1(x)\cdot f_2(x)=f_3(x)\cdot f_4(x)$ және $P(f_1(x))\cdot P(f_2(x))=P(f_3(x))\cdot P(f_4(x))$ теңдіктері барлық нақты $x$ үшін орындалатындай, басты коэффициенттері оң болатын әрі коэффициенттері нақты сандар болатын төрт түрлі тұрақты емес $f_1(x)$, $f_2(x)$, $f_3(x)$ және $f_4(x)$ көпмүшелері табылады. Мұндай жағдай мүмкін болатындай, барлық $P(x)$ көпмүшелерін табыңыз.
(
А. Голованов,
Navid Safaei
)
комментарий/решение
комментарий/решение