22-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2026 год

Точки $O$ и $H$ — центр описанной окружности и точка пересечения высот неравнобедренного треугольника $ABC$. Прямая $OH$ пересекает отрезки $AB$ и $AC$ в точках $B'$ и $C'$ соответственно. Допустим, что описанные окружности $\Gamma$ и $\Omega$ треугольников $AB'C'$ и $ABC$ соответственно пересекаются в точке $S\ne A$. Касательная, проведённая к $\Gamma$ в точке $A$, пересекает $\Omega$ в точке $K\ne A$. Прямая $AH$ пересекает $\Omega$ в точке $M\ne A$. Докажите, что прямые $KH$, $BC$ и $SM$ пересекаются в одной точке. ( М. Нсанбаев )

Комментарий/решение

Пусть $SM \cap BC=T$. Докажем что точки $K-H-T$ лежат на одной прямой. Рассмотрим поворотную гомотетию с центром в точке $S$ и переводящий точку $B'$ в точку $B$. Очевидно она переводит $C$ в $C'$. Докажем что $A$ переходит в $K$ или $\triangle SAK \sim \triangle SC'C$.

Док-во: $\angle SKA = \angle SCC'$ по вписанности $SAKC$. Из касания $\angle SAK = 180 - \angle SC'A=\angle SC'C$. из чего следует требуемое.

Теперь пусть точка $O$ переходит в $O'$. Понятно $O'K=O'S$ так как $OA=OS$ и $O' \in BC$ из $O \in B'C'$. Теперь пусть $\angle STO'=\alpha=\angle BTM$. Тогда из $AM \bot BC$ следует $\angle AMS=90-\alpha$. Значит $\angle SOA=2\angle SMA=180-2\alpha=\angle SO'K$. Или $\angle SKO'=\angle KSO'=\alpha$. Значит $SKTO'$ вписан. Но из $SO'=O'K$ следует $\angle KTB = \angle BTM=\angle HTM$, то есть $K, H, T$ на одной прямой, ч.т.д.

Топ задача

Не