қазақша
русскийОбластная олимпиада по математике, 2026 год, 11 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. Барлық нақты сандар $x$ және $y$ үшін $$f(f(y)+x-y)+f(x-y)=f(xf(y)-y)$$ теңдігі орындалатындай барлық $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ функцияларын табыңыз. Мұнда $\mathbb{R}$ — нақты сандар жиыны.
(
С. Мейрам
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Бүтін санды екі бүтін санның квадраттарының қосындысы түрінде жазуға болса, оны «керемет» сан деп атайық. Тізбектес $n$ бүтін сандардан тұратын жиынды қарастырайық. Егер бұл жиынның барлық элементтері керемет болса, оны «супер жиын» дейміз. Осындай $n$ элементті супер жиындар саны шексіз көп болатындай, ең үлкен натурал $n$ санын табыңыз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $ABC$ үшбұрышының $C$ төбесі арқылы $AB$-ға параллель $\ell$ түзуі жүргізілген. Центрі $O_1$ болатын әрі $\ell$, $AB$ түзулерін және $AC$ кесіндісін жанайтын, центрі $O_2$ болатын әрі $\ell$, $AB$ түзулерін және $BC$ кесіндісін жанайтын шеңберлер берілген (шеңберлер $\triangle ABC$-ның сыртында жатыр). $AB$ кесіндісінде $\angle AO_1N=\angle BO_2N$ болатындай $N$ нүктесі алынған. $ACB$ бұрышының биссектрисасы $O_1N$ және $O_2N$ түзулерін сәйкесінше $M$ және $K$ нүктелерінде қисын. $AB$ қабырғасының ортасы $\triangle MNK$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберінің центрі болатынын дәлелдеңіз.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. Кез келген T-тетрамино фигурасындағы төрт санның қосындысы $7$-ге бөлінетіндей, $8\times8$ тақтаның ұяшықтарына (әр ұяшыққа тек бір саннан) 64 тізбектес бүтін санды жазуға бола ма? (T-тетрамино дегеніміз 4 ұяшықтан тұратын T тәрізді фигура.)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $\omega$ шеңберіне тең бүйірлі $ABC$ үшбұрышы ($AC=BC$) іштей сызылған. $AB$ кесіндісінде $D$ нүктесі алынған ($D$ нүктесі $B$-ге қарағанда $A$-ға жақынырақ). $\omega$ шеңберінің кіші $CB$ доғасында $K$ нүктесі таңдалады. $D$ нүктесі арқылы өтетін және $CK$-ға перпендикуляр болатын түзу $AK$ және $BK$ түзулерін тиісінше $P$ және $Q$ нүктелерінде қиып өтеді. Осындай $PQK$ үшбұрыштарына сырттай сызылған барлық шеңберлер $K$ нүктесінің таңдалуына қарамастан, тұрақты бір нүкте арқылы өтетінін дәлелдеңіз.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №6. $2^{n!}-1$ саны $(2^1-1)(2^2-1)\ldots(2^{n-1}-1)(2^n-1)$ санына бөлінетіндей барлық натурал $n$ сандарын табыңыз. Мұнда $n!$ — $1$-ден $n$-ге дейінгі барлық натурал сандардың көбейтіндісі.
(
Ануарбеков Т.
)
комментарий/решение
комментарий/решение