Областная олимпиада по математике, 2026 год, 11 класс

Найдите все функции $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ такие, что для любых действительных чисел $x$ и $y$ выполнено равенство $$f(f(y) + x - y) + f(x - y) = f(xf(y) - y).$$ Здесь $\mathbb{R}$ означает множество действительных чисел. ( С. Мейрам )

Комментарий/решение

$P(x,y): f(f(y)+x-y)+f(x-y)=f(xf(y)-y).$

$P(0,0):f(f(0))=0$

$P(0,f(0)):2f(-f(0))=f(-f(0))\Rightarrow f(-f(0))=0$

$P(f(0),f(0)):2f(0)=f(-f(0))=0\Rightarrow f(0)=0$

$P(x,0):2f(x)=0\Rightarrow f(x)=0$