қазақша
русскийОбластная олимпиада по математике, 2026 год, 11 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Найдите все функции $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ такие, что для любых действительных чисел $x$ и $y$ выполнено равенство $$f(f(y) + x - y) + f(x - y) = f(xf(y) - y).$$ Здесь $\mathbb{R}$ означает множество действительных чисел.
(
С. Мейрам
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Назовём целое число «чудесным», если его можно представить в виде суммы квадратов двух целых чисел. Рассмотрим множество, состоящее из $n$ последовательных целых чисел. Если каждый элемент этого множества является чудесным, то мы назовём такое множество «супер множеством». Найдите наибольшее натуральное число $n$ такое, что найдется бесконечно много супер множеств, состоящих из $n$ элементов.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Через вершину $C$ треугольника $ABC$ проведена прямая $\ell$, параллельная $AB$. Окружность с центром $O_1$ касается прямых $\ell, AB$ и отрезка $AC$, окружность с центром $O_2$ касается прямых $\ell, AB$ и отрезка $BC$, причем эти окружности лежат вне $\triangle ABC$. На отрезке $AB$ отметили точку $N$ такую, что $\angle AO_1N = \angle BO_2N$. Биссектриса угла $ACB$ пересекает прямые $O_1N, O_2N$ в точках $M, K$ соответственно. Докажите, что середина стороны $AB$ является центром описанной окружности $\triangle MNK$.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Можно ли клетках доски (в каждой клетке по одному числу) $8\times 8$ расставить 64 последовательных целых чисел так, чтобы в любой фигуре Т-тетрамино сумма четырех чисел была кратна 7? (Т-тетрамино это фигура формы Т, состоящая из 4 клеток.)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. В окружность $\omega$ вписан равнобедренный треугольник $ABC$ ($AC=BC$). На отрезке $AB$ отмечена точка $D$ ($D$ ближе к $A$, чем к $B$). На меньшей дуге $CB$ окружности $\omega$ выбирается точка $K$. Прямая, проходящая через $D$ и перпендикулярная $CK$, пересекает прямые $AK$ и $BK$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что все окружности, описанные около таких треугольников $PQK$, проходят через фиксированную точку, независимо от выбора точки $K$.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №6. Найдите все натуральные числа $n$, что число $2^{n!} - 1$ делится на $$(2^1-1)(2^2-1)\ldots(2^{n-1}-1)(2^n-1).$$ Здесь $n!$ — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.
(
Ануарбеков Т.
)
комментарий/решение
комментарий/решение