Областная олимпиада по математике, 2026 год, 11 класс

Можно ли клетках доски (в каждой клетке по одному числу) $8\times 8$ расставить 64 последовательных целых чисел так, чтобы в любой фигуре Т-тетрамино сумма четырех чисел была кратна 7? (Т-тетрамино это фигура формы Т, состоящая из 4 клеток.)

Комментарий/решение

Можно взять любой квадрат 3*3, стороны которого не являются частью стороны всей доски 8*8, после чего рассмотреть суммы всех чисел по мод 7 во всех возможных тетрамино внутри этого квадрата, таких будет 8, после чего можно доказать что в данном квадрате 3*3 будет 5 остатков x по мод 7 и 4 остатка y по мод 7 и дальше сделать док-во для всей доски 8*8, итого числа на всей доске 8*8 будут представлять шахматную раскраску, то есть всего будет по 32 остатка x и y, что невозможно при 64 последовательных числах.

Ответ: нет

Введем координаты клеток, где левый верхний угол имеет координату $(1,1)$, а правый нижний $(8,8)$ ($(x,y)$ координаты, где $x$ номер горизонтали, а $y$ — вертикали). Пусть в $(2,1)$, $(2,2)$, $(2,3)$, $(1,2)$ и $(3,2)$ записаны числа $a,b,c,d,e$ соответственно. Т.к. $a + (d + b + e)$ и $c + (d + b + e)$ кратны $7$, то $a - c$ тоже, т.е. $a \equiv c \pmod{7}$. Аналогично повторяя, можно понять, что в $(2,t)$, $(4,t)$, $(6,t)$ где $t$ нечет, числа сравнимы по $\mod 7$, т.е. таких хотя бы $12$. Но среди $64$ последовательных целых чисел таких не более $10$ , противоречие.