Областная олимпиада по математике, 2026 год, 11 класс

Можно ли клетках доски (в каждой клетке по одному числу) $8\times 8$ расставить 64 последовательных целых чисел так, чтобы в любой фигуре Т-тетрамино сумма четырех чисел была кратна 7? (Т-тетрамино это фигура формы Т, состоящая из 4 клеток.)

Комментарий/решение

Можно взять любой квадрат 3*3, стороны которого не являются частью стороны всей доски 8*8, после чего рассмотреть суммы всех чисел по мод 7 во всех возможных тетрамино внутри этого квадрата, таких будет 8, после чего можно доказать что в данном квадрате 3*3 будет 5 остатков x по мод 7 и 4 остатка y по мод 7 и дальше сделать док-во для всей доски 8*8, итого числа на всей доске 8*8 будут представлять шахматную раскраску, то есть всего будет по 32 остатка x и y, что невозможно при 64 последовательных числах.

Ответ: нет