Областная олимпиада по математике, 2026 год, 11 класс

В окружность $\omega$ вписан равнобедренный треугольник $ABC$ ($AC=BC$). На отрезке $AB$ отмечена точка $D$ ($D$ ближе к $A$, чем к $B$). На меньшей дуге $CB$ окружности $\omega$ выбирается точка $K$. Прямая, проходящая через $D$ и перпендикулярная $CK$, пересекает прямые $AK$ и $BK$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что все окружности, описанные около таких треугольников $PQK$, проходят через фиксированную точку, независимо от выбора точки $K$. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

Докажем что искомая точка E это пересечение $\omega$ и описанный окружность $\triangle BKQ$. Возьмем точку $F=ED \cap \omega$

$180-\angle EPD=\angle EPQ= \angle EKQ= \angle EAB \Rightarrow EDPE$вписанный.

Следовательно $\angle EDQ= \angle EAK=\angle EFK \Rightarrow FK \parallel DQ \Rightarrow \angle CKF= 90^\circ \Rightarrow CF-диаметр.$ Следовательно точка Е фиксированна