қазақша
русскийОбластная олимпиада по математике, 2026 год, 10 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. $A$ қаласынан $B$ қаласына белгілі бір тұрақты интервалмен әрқайсысында салмағы 2026 кг күріш бар 2025 жүк көлік шықты, ал $B$ қаласынан $A$ қаласына да дәл сол интервалмен әрқайсысында салмағы 2025 кг тары бар 2026 жүк көлік жолға шықты. Кез келген екі жүк көлік кездескен кезде, олар толығымен жүктерімен ауысады да, кейін осы екі көліктің әрқайсысы кері бұрылып, сапарын жалғастырады. Бірақ жүк ауыстыру барысында әр дақылдан дәл 1 кг жерге төгіліп қалады. Жолға шыққаннан кейін қандай да қалаға ($A$ немесе $B$) жеткен жүк көлік сол қалада қалып, сапарын аяқтайды. Ең соңғы болып сапарын аяқтаған жүк көліктен кейін әр қалада әр дақылдан неше килограмм болады? (Барлық көліктердің жылдамдығы өзара тең, жүк ауыстыру еш уақыт алмайды және қандай да бір сәтте $A$ мен $B$ арасында барлық көлік сапарда болған деп есептеңіз.)
(
М. Нсанбаев
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $n\ge3$ болатын бүтін сан және әртүрлі оң сандардан тұратын $a_1,a_2,\ldots,a_n$ сандар жиыны берілген. Кез келген $1\le i\le n$ үшін $a_i=1+\frac{a_j}{a_k}$ теңдігі орындалатындай жиыннан $a_j,\ a_k$ сандары табылады (бұл жерде $a_i, a_j, a_k$ әртүрлі деп есептеңіз). Жиында қосындысы 4-тен үлкен болатын екі сан бар екенін дәлелдеңіз. (Түсініктеме: кейінірек белгілі болғандай, есептің шартын қанағаттандыратын тізбек жоқ екен. Мұны дәлелдеу арқылы да 7 ұпай алуға болады.)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Сүйір бұрышты теңбүйірлі емес $ABC$ үшбұрышында $BD$ және $CE$ биіктіктері жүргізілген. $DE$ түзуінде $PC\perp BC$ және $QB\perp BC$ болатындай $P$ және $Q$ нүктелері белгіленген. $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер диаметрін $AA_1$ деп белгілейік. $A_1$ нүктесі $BDQ$ және $CEP$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлерінің ортақ хордасын қамтитын түзудің бойында жататынын дәлелдеңіз.
(
Кеңшілік Е.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Бүтін $a$, $b$ және $n$ сандары берілген. $b^2-ab$ және $a^2$ сандары $n$-ге бөлінсе, онда $a^5+ab^4+b^5$ саны да $n$-ге бөлінетінін дәлелдеңіз.
(
С. Мейрам
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №5. Өзара қиылыспайтын $\omega_1$ және $\omega_2$ шеңберлері берілген. $AB$ және $CD$ — осы шеңберлерге жүргізілген ортақ сыртқы жанамалардың кесінділері (мұнда $A,C$ нүктелері $\omega_1$-де, ал $B,D$ нүктелері $\omega_2$-де жатыр). $CB$ түзуі $\omega_1$-ді екінші рет $P$ нүктесінде, ал $AD$ түзуі $\omega_2$-ні екінші рет $Q$ нүктесінде қияды. $\omega_1$-ге $P$ нүктесінде, $\omega_2$-ге $Q$ нүктесінде жүргізілген жанамалар $AB$ түзуінде қиылысатынын дәлелдеңіз.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №6. Шахмат ретімен екі түске (қара және ақ) боялған шексіз торкөз қағаз берілген. Бұл қағаздан 25 ақ және 25 қара торкөзден тұратын торкөзді фигура қиып алынған. Бұл фигураның кез келген торкөзінен кез келген басқа торкөзіне ортақ қабырғасы бар көрші торкөздері (диагональ бойынша емес) өту арқылы жетуге болады. Фигурадан кепілді түрде қиып алуға болатын доминолардың ең көп саны қандай? (Домино — бұл өлшемі $1\times 2$ немесе $2 \times 1$ болатын фигура).
(
П. Кожевников
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)