қазақша
русскийКеңшілік Е.
Задача №1. В остроугольном неравнобедренном треугольнике $ABC$ проведены высоты $BD$ и $CE$. На прямой $DE$ отмечены такие точки $P$ и $Q$, что $PC \perp BC$ и $QB \perp BC$. Обозначим через $AA_1$ диаметр описанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что точка $A_1$ лежит на прямой, содержащей общую хорду окружностей, описанных около треугольников $ BDQ$ и $CEP$. ( Кеңшілік Е. )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №2. Дан прямоугольный треугольник $ABC$, где $\angle A = 90^\circ$ и $AB\ne AC$. На сторонах $BC$, $AC$, $AB$ во внешнюю сторону построены равнобедренные прямоугольные треугольники $BCX, CAY, ABZ$ с гипотенузами $BC, CA, AB$ соответственно. Точка $W$ такова, что четырёхугольник $BACW$ — прямоугольник. Докажите, что точки $X,Y,Z,W$ образуют равнобочную трапецию. ( Кеңшілік Е. )
комментарий/решение(9) олимпиада
Задача №3. Диагонали $AC$ и $BD$ выпуклого четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Пусть $I_1, I_2, I_3, I_4$ — центры вписанных окружностей треугольников $ABE$, $BCE$, $CDE$, $DAE$ соответственно, а $\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4$ — описанные окружности треугольников $ABI_1$, $BCI_2$, $CDI_3$, $DAI_4$ соответственно. Точки $M$ и $N$ — середины диагоналей $AC$ и $BD$ соответственно. Докажите, что если $M\ne N$, то на прямой $MN$ существует такая точка $P$, что степень точки $P$ относительно $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ и $\omega_4$, равны. (Степенью точки $X$ относительно окружности с центром $O$ и радиуса $r$ называется величина $OX^2-r^2$.) ( Зауытхан А., Кеңшілік Е. )
комментарий/решение олимпиада
Задача №4. Диагонали $AC$ и $BD$ выпуклого четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Пусть $I_1, I_2, I_3, I_4$ — центры вписанных окружностей треугольников $ABE$, $BCE$, $CDE$, $DAE$ соответственно, а $\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4$ — описанные окружности треугольников $ABI_1$, $BCI_2$, $CDI_3$, $DAI_4$ соответственно. Точки $M$ и $N$ — середины диагоналей $AC$ и $BD$ соответственно. Докажите, что если $M\ne N$, то на прямой $MN$ существует такая точка $P$, что степень точки $P$ относительно $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ и $\omega_4$, равны. (Степенью точки $X$ относительно окружности с центром $O$ и радиуса $r$ называется величина $OX^2-r^2$.) ( Зауытхан А., Кеңшілік Е. )
комментарий/решение олимпиада