қазақша
русскийОбластная олимпиада по математике, 2026 год, 10 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Из города $A$ в город $B$ с некоторым постоянным интервалом отправились 2025 грузовиков, каждый из которых вёз по 2026 кг риса. Аналогично, из города $B$ в город $A$ с тем же интервалом выехали 2026 грузовиков, каждый из которых вёз по 2025 кг пшена. Каждый раз, когда встречаются два грузовика, они полностью обмениваются своими грузами, после чего каждый из них разворачивается и продолжает движение. При этом во время обмена грузами из каждого вида зерна на землю высыпается ровно 1 кг. Грузовик, доехавший до какого-либо города ($A$ или $B$), остаётся в этом городе и завершает свой путь. После того как последний грузовик завершит движение, сколько килограммов каждого вида зерна окажется в каждом из городов? (Считайте, что скорости всех грузовиков одинаковы, обмен грузами происходит мгновенно и в некоторый момент времени между городами $A$ и $B$ одновременно находились все грузовики.)
(
М. Нсанбаев
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Дано целое число $n \ge 3$ и набор из $n$ попарно различных положительных чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$. Известно, что для любого ${1\le i \le n}$ найдутся два числа из набора $a_j$ и $a_k$ такие, что $a_i =1+\frac{a_j}{a_k}$ (считайте, что $a_i, a_j, a_k$ попарно различны). Докажите, что в наборе найдутся два числа, сумма которых больше 4. (Комментарий: как обнаружилось позже, удовлетворяющих условию задачи последовательности не существует. Доказав это, также можно получить 7 баллов.)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. В остроугольном неравнобедренном треугольнике $ABC$ проведены высоты $BD$ и $CE$. На прямой $DE$ отмечены такие точки $P$ и $Q$, что $PC \perp BC$ и $QB \perp BC$. Обозначим через $AA_1$ диаметр описанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что точка $A_1$ лежит на прямой, содержащей общую хорду окружностей, описанных около треугольников $ BDQ$ и $CEP$.
(
Кеңшілік Е.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Даны целые числа $a$, $b$ и $n$. Известно, что числа $b^2-ab$ и $a^2$ делятся на $n$. Докажите, что и число $a^5+ab^4+b^5$ также делится на $n$.
(
С. Мейрам
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №5. Даны две непересекающиеся окружности $\omega_1$ и $\omega_2$. $AB$ и $CD$ — отрезки общих внешних касательных к $\omega_1$ и $\omega_2$ (здесь точки $A$, $C$ лежат на $\omega_1$, а точки $B$, $D$ — на $\omega_2$). Прямая $CB$ пересекает $\omega_1$ во второй раз в точке $P$, а прямая $AD$ пересекает $\omega_2$ — в точке $Q$. Докажите, что касательная к $\omega_1$ в точке $P$, и касательная к $\omega_2$ в точке $Q$, пересекаются на прямой $AB$.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №6. Дана бесконечная клетчатая бумага, раскрашенная в два цвета (черный и белый) в шахматном порядке. Из этой бумаги вырезается клетчатая фигура, состоящая из 25 белых и 25 чёрных клеток такая, что от любой клетки фигуры можно добраться до любой другой клетки этой же фигуры, переходя только по клеткам фигуры и только через общую сторону (не по диагонали). Какое наибольшее количество доминошек из фигуры можно заведомо вырезать? (Доминошка эта фигурка размера $1\times 2$ или $2 \times 1$.)
(
П. Кожевников
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)