Областная олимпиада по математике, 2026 год, 10 класс

Из города $A$ в город $B$ с некоторым постоянным интервалом отправились 2025 грузовиков, каждый из которых вёз по 2026 кг риса. Аналогично, из города $B$ в город $A$ с тем же интервалом выехали 2026 грузовиков, каждый из которых вёз по 2025 кг пшена. Каждый раз, когда встречаются два грузовика, они полностью обмениваются своими грузами, после чего каждый из них разворачивается и продолжает движение. При этом во время обмена грузами из каждого вида зерна на землю высыпается ровно 1 кг. Грузовик, доехавший до какого-либо города ($A$ или $B$), остаётся в этом городе и завершает свой путь. После того как последний грузовик завершит движение, сколько килограммов каждого вида зерна окажется в каждом из городов? (Считайте, что скорости всех грузовиков одинаковы, обмен грузами происходит мгновенно и в некоторый момент времени между городами $A$ и $B$ одновременно находились все грузовики.) ( М. Нсанбаев )

Комментарий/решение

Столкновения эквивалентны ситуации, когда грузовики продолжают движение без обмена грузами, теряя по 1 кг зерна при каждой встрече.Каждый грузовик из A встречается с 2026 грузовиками из B и теряет 2026 кг риса, поэтому прибывает с нулевым грузом. Аналогично, каждый грузовик из B теряет 2025 кг пшена и тоже приезжает пустым.Следовательно, в обоих городах в итоге по 0 кг риса и 0 кг пшена.