Областная олимпиада по математике, 2026 год, 10 класс

$A$ қаласынан $B$ қаласына белгілі бір тұрақты интервалмен әрқайсысында салмағы 2026 кг күріш бар 2025 жүк көлік шықты, ал $B$ қаласынан $A$ қаласына да дәл сол интервалмен әрқайсысында салмағы 2025 кг тары бар 2026 жүк көлік жолға шықты. Кез келген екі жүк көлік кездескен кезде, олар толығымен жүктерімен ауысады да, кейін осы екі көліктің әрқайсысы кері бұрылып, сапарын жалғастырады. Бірақ жүк ауыстыру барысында әр дақылдан дәл 1 кг жерге төгіліп қалады. Жолға шыққаннан кейін қандай да қалаға ($A$ немесе $B$) жеткен жүк көлік сол қалада қалып, сапарын аяқтайды. Ең соңғы болып сапарын аяқтаған жүк көліктен кейін әр қалада әр дақылдан неше килограмм болады? (Барлық көліктердің жылдамдығы өзара тең, жүк ауыстыру еш уақыт алмайды және қандай да бір сәтте $A$ мен $B$ арасында барлық көлік сапарда болған деп есептеңіз.) ( М. Нсанбаев )

Комментарий/решение

Столкновения эквивалентны ситуации, когда грузовики продолжают движение без обмена грузами, теряя по 1 кг зерна при каждой встрече.Каждый грузовик из A встречается с 2026 грузовиками из B и теряет 2026 кг риса, поэтому прибывает с нулевым грузом. Аналогично, каждый грузовик из B теряет 2025 кг пшена и тоже приезжает пустым.Следовательно, в обоих городах в итоге по 0 кг риса и 0 кг пшена.