Областная олимпиада по математике, 2026 год, 10 класс

Даны целые числа $a$, $b$ и $n$. Известно, что числа $b^2-ab$ и $a^2$ делятся на $n$. Докажите, что и число $a^5+ab^4+b^5$ также делится на $n$. ( С. Мейрам )

Комментарий/решение

$a^5+ab^4+b^5=a^5+2ab^4+b^5-ab^4=a^5+2ab^4+b^3(b^2-ab)=a^5+2ab^4+2a^2b^3-2a^2b^3+b^3(b^2-ab)=a^2(a^3+2b^3)+2ab^2(b^2-ab)+b^3(b^2-ab)$

каждое слагаемое делится на n $\Rightarrow $ вся сумма делиться на n

С условии следует

$b^2 \equiv ab \pmod {n} \Rightarrow ab^2 \equiv a^2b \equiv 0 \pmod {n} \Rightarrow ab^4 \equiv 0 \pmod {n}$

Докажем , что $b^3$ делится на $n$

$b^2+a^2 \equiv ab \pmod {n} \Rightarrow (b^2+a^2) \times b \equiv ab^2 \equiv b^3 + a^2b \equiv b^3 + 0 \pmod {n} \Rightarrow b^3 \equiv 0 \pmod {n}$

Тогда

$a^5 + ab^4 + b^5 \equiv (a^2)^2 × a + ab^2 × b^2 + b^3 × b^2 \equiv 0 \pmod {n}$ , что и требовалост доказать.

$b^2 \equiv ab \Rightarrow b^4 \equiv (ab)^2 \equiv 0 \pmod{n}$ (т.к. $a^2 \equiv 0$)

Исходное выражение это $a^5+b^4(a+b) \equiv 0 \pmod{n}$

$a^2$-$ab$+$b^2$ по моду $n$ дает остаток $0$ а это значит то что $a^3+b^3$ тоже дает остаток $0$ тогда $b^3$ по моду n дает остаток $0$ и задача решена,если $a=-b$ то просто подставляем что также доказывает нашу задачу