Областная олимпиада по математике, 2026 год, 10 класс

Дано целое число $n \ge 3$ и набор из $n$ попарно различных положительных чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$. Известно, что для любого ${1\le i \le n}$ найдутся два числа из набора $a_j$ и $a_k$ такие, что $a_i =1+\frac{a_j}{a_k}$ (считайте, что $a_i, a_j, a_k$ попарно различны). Докажите, что в наборе найдутся два числа, сумма которых больше 4. (Комментарий: как обнаружилось позже, удовлетворяющих условию задачи последовательности не существует. Доказав это, также можно получить 7 баллов.)

Комментарий/решение

Возьмем $min(a_1,a_2,…,a_ )=a_1$. Тогда $a_1=1+\dfrac{a_j}{a_k}>1+\dfrac{a_1}{a_k}$. Допустим $a_1+a_k \leq 4 \Rightarrow a_1 \leq 4-a_k$ тогда:

$a_1> 1+\dfrac{a_1}{a_k} \Rightarrow \dfrac{1}{a_k}<\dfrac{a_1-1}{a_1}=1-\dfrac{1}{a_1} \leq 1-\dfrac{1}{4-a_k} \Rightarrow -(a_k-2)^2 > 0$ что невозможно.