Областная олимпиада по математике, 2026 год, 10 класс

$n\ge3$ болатын бүтін сан және әртүрлі оң сандардан тұратын $a_1,a_2,\ldots,a_n$ сандар жиыны берілген. Кез келген $1\le i\le n$ үшін $a_i=1+\frac{a_j}{a_k}$ теңдігі орындалатындай жиыннан $a_j,\ a_k$ сандары табылады (бұл жерде $a_i, a_j, a_k$ әртүрлі деп есептеңіз). Жиында қосындысы 4-тен үлкен болатын екі сан бар екенін дәлелдеңіз. (Түсініктеме: кейінірек белгілі болғандай, есептің шартын қанағаттандыратын тізбек жоқ екен. Мұны дәлелдеу арқылы да 7 ұпай алуға болады.)

Комментарий/решение

Возьмем $min(a_1,a_2,…,a_ )=a_1$. Тогда $a_1=1+\dfrac{a_j}{a_k}>1+\dfrac{a_1}{a_k}$. Допустим $a_1+a_k \leq 4 \Rightarrow a_1 \leq 4-a_k$ тогда:

$a_1> 1+\dfrac{a_1}{a_k} \Rightarrow \dfrac{1}{a_k}<\dfrac{a_1-1}{a_1}=1-\dfrac{1}{a_1} \leq 1-\dfrac{1}{4-a_k} \Rightarrow -(a_k-2)^2 > 0$ что невозможно.