Республиканская олимпиада по математике, 1999 год, 10 класс

Задача №1.  Докажите, что для любых действительных чисел $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_{100}$ существует действительное число $b$ такое, что все числа $a_i+b$ ($1\leq i\leq 100$) — иррациональные.
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Один квадрат получен поворотом второго квадрата относительно его центра на угол $\alpha$ $(\alpha \leq \pi/4)$. При каком значении $\alpha$, периметр восьмиугольника, общей части двух квадратов, имеет минимальное значение.
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Последовательность $\{a_n\}$ определена следующим образом:
$a_1=1$ и для любого $n\geq2$ $$a_n= \left\{ \begin{array}{rcl} a_{n-1}-n,~ \mbox{если $a_{n-1}>n,$}\\ a_{n-1}+n,~ \mbox{если $a_{n-1}\leq n.$}\\ \end{array} \right.$$ Найдите минимальное $n$ такое, что $a_n=1999$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  В стране 2000 городов, расстояние между любыми двумя из них различны. Известно, что из любых трех городов, два из них, расстояние между которыми минимально, не соединены между собой дорогой. Найдите максимальное количество дорог в этой стране.
комментарий/решение

---

Задача №5.  Для действительных чисел $x_1, x_2, \dots, x_n$ и $y_1, y_2, \dots, y_n$ выполнены неравенства $x_1\geq x_2\geq \ldots\geq x_n >0$ и $$y_1\geq x_1, ~y_1y_2 \geq x_1x_2, ~\dots, ~y_1y_2 \dots y_n \geq x_1x_2 \dots x_n.$$ Докажите, что $ny_1+(n-1)y_2+ \dots +y_n\geq x_1+2x_2+ \dots +nx_n$.
комментарий/решение

---

Задача №6.  а) Докажите, что среди любых 79 последовательных натуральных чисел есть число, сумма цифр которого делится на 13.
б) Найдите 78 последовательных натуральных чисел, для которых сумма цифр каждого из них не делится на 13.
комментарий/решение(1)

---

Задача №7. Пусть $a=(n+1)^m-n$ и $b=(n+1)^{m+3}-n$, где $m$ и $n$ — натуральные числа.
а) Докажите, что $a$ и $b$ взаимно просты, если $m$ не делится на 3.
б) Найдите все пары $(m,n)$, для которых $a$ и $b$ не взаимно простые.
комментарий/решение(1)

---

Задача №8.  В остроугольном равнобедренном треугольнике $ABC$, с основанием $AC$, проведены высоты $AA_1$ и $BB_1$. Прямая проходящая через $B$ и середину $AA_1$ пересекает описанную около треугольника $ABC$ окружность $\omega$ в точке $E$. Касательная к $\omega$ в точке $A$ пересекает прямую $BB_1$ в точке $D$. Доказать, что точки $D$, $E$, $B_1$ и $C$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение(1)

---