Республиканская олимпиада по математике, 1999 год, 10 класс

а) Докажите, что среди любых 79 последовательных натуральных чисел есть число, сумма цифр которого делится на 13.
б) Найдите 78 последовательных натуральных чисел, для которых сумма цифр каждого из них не делится на 13.

Комментарий/решение

Пусть "десяток" будет порядок чисел от $10k$ до $10k+9$

$A$)Заметим что при $79$ последовательных чисел, $100$ % найдутся $7$ десятков,

пусть у нас буду последовательные десятки $a, b, c, d$ такие, что они имеют одинаковое число в рязряде сотен, тогда они будут иметь такой вид:

$a \rightarrow x --- x+9$

$b \rightarrow x+1---x+10$

$c \rightarrow x+2---x+11$

$d \rightarrow x+3---x+12$

Следовательно, какой бы $x$ не давал остаток по $mod$ $11$ среди $4$ таких десятков найдётся нужное нам число.

Разберем случай с переходоим из $9$ в $10$, так как подобный трюк не пройдет с $99.....99+1$. Но заметим, что десятков у нас $7$, а нам достаточно лишь $4$ десятка, значит где бы этот переход не находился, всегда буду $4$ нужные нам десятки. И это будет работать для $79$, и выше, ибо при $78$ например уже не факт что там будут $7$ десятков

$B$) от $9 999 999 961$ до $10 000 000 038$

Возьмем 39 чисел с $61$ до $99$, и с $00$ до $38$

В 1 случае, сумма цифр будет $min 79, max 90$ (с суммой всех десяток).

Во втором случае $min 1, max 12$ сумма цифр. В обеих случаях Они не делятся на $13$.