Математикадан республикалық олимпиада, 1998-1999 оқу жылы, 10 сынып

а) Кез келген тізбектес 79 натурал санның ішінен цифрларының қосындысы 13-ке бөлінетін сан табылатынын дәлелде.
б) Әркайсысының цифрларыньщ қосындысы 13-ке бөлінбейтін тізбектес 78 натурал санды тап.

Комментарий/решение

Пусть "десяток" будет порядок чисел от $10k$ до $10k+9$

$A$)Заметим что при $79$ последовательных чисел, $100$ % найдутся $7$ десятков,

пусть у нас буду последовательные десятки $a, b, c, d$ такие, что они имеют одинаковое число в рязряде сотен, тогда они будут иметь такой вид:

$a \rightarrow x --- x+9$

$b \rightarrow x+1---x+10$

$c \rightarrow x+2---x+11$

$d \rightarrow x+3---x+12$

Следовательно, какой бы $x$ не давал остаток по $mod$ $11$ среди $4$ таких десятков найдётся нужное нам число.

Разберем случай с переходоим из $9$ в $10$, так как подобный трюк не пройдет с $99.....99+1$. Но заметим, что десятков у нас $7$, а нам достаточно лишь $4$ десятка, значит где бы этот переход не находился, всегда буду $4$ нужные нам десятки. И это будет работать для $79$, и выше, ибо при $78$ например уже не факт что там будут $7$ десятков

$B$) от $9 999 999 961$ до $10 000 000 038$

Возьмем 39 чисел с $61$ до $99$, и с $00$ до $38$

В 1 случае, сумма цифр будет $min 79, max 90$ (с суммой всех десяток).

Во втором случае $min 1, max 12$ сумма цифр. В обеих случаях Они не делятся на $13$.