Республиканская олимпиада по математике, 1999 год, 10 класс
Комментарий/решение:
Если $p | $НОД($(n+1)^m - n, (n + 1)^{m + 3} - n$), то НОД($p, n$) = НОД($p, n + 1$) = 1
Дальше по алгоритму Евклида: $p | $ НОД($a, b$) =
НОД($a, b - a$) = НОД($a, (n + 1)^{m+3} - (n+1)^m$) = НОД($a, (n+1)^m \cdot ((n + 1)^3 - 1)$) = НОД($a, (n+ 1)^3 - 1$), так как НОД($p, n + 1$) = 1
(1) НОД($(n + 1)^m - n, (n+ 1)^3 - 1$) =
НОД($(n+1)^m - n - (n+1)^m \cdot ((n+ 1)^3 - 1)), (n+ 1)^3 - 1$) =
(2) НОД($(n+1)^{m-3} - n, (n+ 1)^3 - 1$) =
НОД($(n+1)^{m-3} - n - (n+1)^m \cdot ((n+ 1)^3 - 1)), (n+ 1)^3 - 1$) =
(3) НОД($(n+1)^{m-6} - n, (n+ 1)^3 - 1$) = . . . (степень $m$ из (1) просто сокращается на 3)
. . .
НОД($(n+1)^{\text{остаток $m$ на три}} - n, (n+ 1)^3 - 1$)
Заметим что если остаток 1 или 2, то значение выше будет принимать 1. Значит они взаимно просты только когда $m$ не делится на 3
Теперь из выше понимаем, что:
НОД($a, b$) = НОД($(n + 1)^0 - n, (n + 1)^3 - 1$) =
НОД($n - 1, n^3 + 3n^2 + 3n$) = НОД($n-1, n^2 +3n + 3$), так как НОД($p, n$) = 1
НОД($n - 1, n^2 +3n + 3$) = НОД($n -1, n^2 +3n + 3 - (n + 4) \cdot (n - 1)$) = НОД($n -1, 7$)= 7
$\Rightarrow 7 | n - 1 \Rightarrow n = 7k + 1 \text{ и } m = 3l, \forall k, l \in N$
Проверяем ответ и все правильно
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.