Республиканская олимпиада по математике, 1999 год, 10 класс

В остроугольном равнобедренном треугольнике $ABC$, с основанием $AC$, проведены высоты $AA_1$ и $BB_1$. Прямая проходящая через $B$ и середину $AA_1$ пересекает описанную около треугольника $ABC$ окружность $\omega$ в точке $E$. Касательная к $\omega$ в точке $A$ пересекает прямую $BB_1$ в точке $D$. Доказать, что точки $D$, $E$, $B_1$ и $C$ лежат на одной окружности.

Комментарий/решение

$MB_{1}$ средняя линия $\Delta AA_{1}C$ значит $\angle EMB_{1} = \angle EBC = \angle EAC $ откуда $AMB_{1}E$ вписанный, из условия следует что $CD$ так же касательная, требуется доказать что $\angle DCE = \angle DB_{1}E$ что верно, так как $\angle DCE= \angle CBE$ и $\angle DB_{1}E = 90^{\circ} - \angle AB_{1}E = 90^{\circ} - \angle AME = \angle CBE$.