Математикадан республикалық олимпиада, 1998-1999 оқу жылы, 10 сынып

Есеп №1. Кез келген нақты

${{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{100}}$ сандары үшін

${{a}_{i}}+b$ ,

$1\le i\le 100$ , сандарының барлығы иррационал балатындай нақты

$b$ санының табылатынын дәлелде.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Бір квадрат екінші квадратты центріне қарағаңда

$\alpha$ бұрышқа

$\left( \alpha \le \dfrac{\pi }{4} \right)$ бұру арқылы алынған.

$\alpha$ -ның қандай мәнінде екі квадраттың ортақ бөлігі болып табылатын сегізбұрыштың периметрі ең кіші болады?
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ тізбегі төмендегідей анықталған:

${{a}_{1}}=1$ және

$n\ge 2$ үшін

${a_n} = \left\{ \begin{array}{l} {a_{n - 1}} - n,\text{ егер }{a_{n - 1}} > n,\\ {a_{n - 1}} + n,\text{ егер }{a_{n - 1}} \le n. \end{array} \right.$

${{a}_{n}}=1999$ болатындай ең кіші

$n$ -ді тап.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Бір мемлекетте 2000 әуежай бар, олардың кез келген екеуінің арақашықтықтары әр түрлі. Кез келген үш әуежайдың жақын орналасқан екеуі бір-бірімен әуе жолымен байланыспаған. Осы мемлекеттің әуежолдарының ең көп мүмкін санын тап. (Әуежол екі әуежайды ғана байланыстырады.)
комментарий/решение

Есеп №5. Егер

${{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{n}}$ және

${{y}_{1}},{{y}_{2}},\ldots ,{{y}_{n}}$ нақты сандары

${{x}_{1}}\ge {{x}_{2}}\ge \ldots \ge {{x}_{n}} > 0$ және

${{y}_{1}}\ge {{x}_{1}}$ ,

${{y}_{1}}{{y}_{2}}\ge {{x}_{1}}{{x}_{2}}$ ,

$\ldots$ ,

${{y}_{1}}{{y}_{2}}\ldots {{y}_{n}}\ge {{x}_{1}}{{x}_{2}}\ldots {{x}_{n}}$ шарттарын қанағаттандыратын болса, онда

$n{{y}_{1}}+(n-1){{y}_{2}}+\ldots +{{y}_{n}}\ge {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+\ldots +n{{x}_{n}}$ болатынын дәлелде.
комментарий/решение

Есеп №6. а) Кез келген тізбектес 79 натурал санның ішінен цифрларының қосындысы 13-ке бөлінетін сан табылатынын дәлелде.
б) Әркайсысының цифрларыньщ қосындысы 13-ке бөлінбейтін тізбектес 78 натурал санды тап.
комментарий/решение(1)

Есеп №7.

$m$ және

$n$ — натурал сандар.

$a={{\left( n+1 \right)}^{m}}-n$ және

$b={{\left( n+1 \right)}^{m+3}}-n$ болсын.
а) Егер

$m$ саны 3-ке бөлінбейтін болса, онда

$a$ мен

$b$ -ның өзара жай саңдар екенін дәлелде.
б)

$a$ және

$b$ өзара жай сандар болмайтындай, барлық

$m$ және

$n$ сандар жұптарын тап.
комментарий/решение(1)

Есеп №8. Табаны

$AC$ болатын сүйір бұрышты тең бүйірлі

$ABC$ үшбұрышында

$A{{A}_{1}}$ және

$B{{B}_{1}}$ биіктіктері жүргізілген.

$B$ төбесі және

$A{{A}_{1}}$ кесіндінің ортасы арқылы өтетін түзу

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған

$T$ шеңберді

$E$ нүктесінде қияды.

$T$ -ға

$A$ нүктесінен жүргізілген жанама

$B{{B}_{1}}$ тузуін

$D$ нүктесінде қияды.

$D$ ,

$E$ ,

${{B}_{1}}$ және

$C$ нүктелері бір шеңбердің бойында жататынын дәлелде.
комментарий/решение(1)