қазақша
русскийМатематикадан республикалық олимпиада, 1998-1999 оқу жылы, 10 сынып
Есеп №1. Кез келген нақты ${{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{100}}$ сандары үшін ${{a}_{i}}+b$, $1\le i\le 100$, сандарының барлығы иррационал балатындай нақты $b$ санының табылатынын дәлелде.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Бір квадрат екінші квадратты центріне қарағаңда $\alpha $ бұрышқа $\left( \alpha \le \dfrac{\pi }{4} \right)$ бұру арқылы алынған. $\alpha $ -ның қандай мәнінде екі квадраттың ортақ бөлігі болып табылатын сегізбұрыштың периметрі ең кіші болады?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ тізбегі төмендегідей анықталған: ${{a}_{1}}=1$ және $n\ge 2$ үшін
\[{a_n} = \left\{ \begin{array}{l}
{a_{n - 1}} - n,\text{ егер }{a_{n - 1}} > n,\\
{a_{n - 1}} + n,\text{ егер }{a_{n - 1}} \le n.
\end{array} \right.\] ${{a}_{n}}=1999$ болатындай ең кіші $n$-ді тап.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Бір мемлекетте 2000 әуежай бар, олардың кез келген екеуінің арақашықтықтары әр түрлі. Кез келген үш әуежайдың жақын орналасқан екеуі бір-бірімен әуе жолымен байланыспаған. Осы мемлекеттің әуежолдарының ең көп мүмкін санын тап. (Әуежол екі әуежайды ғана байланыстырады.)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №5. Егер ${{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{n}}$ және ${{y}_{1}},{{y}_{2}},\ldots ,{{y}_{n}}$ нақты сандары ${{x}_{1}}\ge {{x}_{2}}\ge \ldots \ge {{x}_{n}} > 0$ және ${{y}_{1}}\ge {{x}_{1}}$, ${{y}_{1}}{{y}_{2}}\ge {{x}_{1}}{{x}_{2}}$, $\ldots$, ${{y}_{1}}{{y}_{2}}\ldots {{y}_{n}}\ge {{x}_{1}}{{x}_{2}}\ldots {{x}_{n}}$ шарттарын қанағаттандыратын болса, онда $n{{y}_{1}}+(n-1){{y}_{2}}+\ldots +{{y}_{n}}\ge {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+\ldots +n{{x}_{n}}$ болатынын дәлелде.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №6. а) Кез келген тізбектес 79 натурал санның ішінен цифрларының қосындысы 13-ке бөлінетін сан табылатынын дәлелде.
б) Әркайсысының цифрларыньщ қосындысы 13-ке бөлінбейтін тізбектес 78 натурал санды тап.
комментарий/решение(1)
б) Әркайсысының цифрларыньщ қосындысы 13-ке бөлінбейтін тізбектес 78 натурал санды тап.
комментарий/решение(1)
Есеп №7. $m$ және $n$ — натурал сандар. $a={{\left( n+1 \right)}^{m}}-n$ және $b={{\left( n+1 \right)}^{m+3}}-n$ болсын.
а) Егер $m$ саны 3-ке бөлінбейтін болса, онда $a$ мен $b$-ның өзара жай саңдар екенін дәлелде.
б) $a$ және $b$ өзара жай сандар болмайтындай, барлық $m$ және $n$ сандар жұптарын тап.
комментарий/решение(1)
а) Егер $m$ саны 3-ке бөлінбейтін болса, онда $a$ мен $b$-ның өзара жай саңдар екенін дәлелде.
б) $a$ және $b$ өзара жай сандар болмайтындай, барлық $m$ және $n$ сандар жұптарын тап.
комментарий/решение(1)
Есеп №8. Табаны $AC$ болатын сүйір бұрышты тең бүйірлі $ABC$ үшбұрышында $A{{A}_{1}}$ және $B{{B}_{1}}$ биіктіктері жүргізілген. $B$ төбесі және $A{{A}_{1}}$ кесіндінің ортасы арқылы өтетін түзу $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған $T$ шеңберді $E$ нүктесінде қияды. $T$-ға $A$ нүктесінен жүргізілген жанама $B{{B}_{1}}$ тузуін $D$ нүктесінде қияды. $D$, $E$, ${{B}_{1}}$ және $C$ нүктелері бір шеңбердің бойында жататынын дәлелде.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)