Республиканская олимпиада по математике, 1999 год, 10 класс

Последовательность $\{a_n\}$ определена следующим образом:
$a_1=1$ и для любого $n\geq2$ $$a_n= \left\{ \begin{array}{rcl} a_{n-1}-n,~ \mbox{если $a_{n-1}>n,$}\\ a_{n-1}+n,~ \mbox{если $a_{n-1}\leq n.$}\\ \end{array} \right.$$ Найдите минимальное $n$ такое, что $a_n=1999$.

Комментарий/решение

Так как последовательность определена однозначно, рассмотрим последовательность $H$ $(a_{s},a_{s+2},...,a_{s+2k},...,a_{3s-6})=(s-2, \ s-3, \ s-4,... , \ 1) , \ \ (a_{s+1}, a_{s+3},...,a_{3s-5}, ... , a_{l+1})=(s-2+s+1, s-2+s+2,..., 3s-4)$ при $s>3$ удовлетворяет условию, заметим что $a_{s}+a_{s+1}=3s-3=(3s-6)+3$ , тем самым можно найти всегда можно найти два первых члена последовательности с которой будут следовать условие $(H)$, значит для того чтобы найти минимальное $a_{1999}$ найдём самое первое $a_{s}$ в которой будет лежать это число, то есть по свойству и учитывая что $a_{1}=1$ , получаем $a_{4}=2,a_{5}=7$ тогда по $H$ откуда $(a_{4+5}=a_{9}, a_{10}),...,(a_{5469}=5467,a_{5470}=10937))$ откуда требуется решить уравнение $a_{5469+2x}=5467-x=1999$ или $x=3468$ значит $a_{12405}=1999$.