Bulgaria

Задача №1. Внутри единичного квадрата даны 9 точек. Докажите, что из них можно выбрать три, которые образуют треугольник с площадью не более

$\frac 18$ . ( Bulgaria )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №2. Существует ли 16 трёхзначных натуральных чисел, которые всего содержат три различные цифры так, что все числа дают различные остатки при делении на 16? ( Bulgaria )
комментарий/решение(9) олимпиада

Задача №3. Найдите все натуральные числа

$n$ такие, что число

$n^2+3^n$ является точным квадратом. ( Bulgaria )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №4. В треугольнике

$ABC$

$\angle C = 90^\circ$ и

$CA \neq CB$ . Пусть

$CH$ — высота и

$CL$ биссектриса. Докажите, что для любой точки

$X$ прямой

$CL$ , отличной от

$C$ , углы

$\angle XAC$ и

$\angle XBC$ будут отличны. Также докажите, что для любой точки прямой

$CH$ , отличной от

$C$ , углы

$\angle YAC$ и

$\angle YBC$ отличны. ( Bulgaria )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №5. Найдите все натуральные числа

$n$ , которые имеют в точности 16 натуральных делителей

$1 = d_1 < d_2 < \ldots < d_{16} =n$ , такие, что

$d_k=(d_2 + d_4) \cdot d_6$ , где

$k = d_5$ . ( Bulgaria )
комментарий/решение(10) олимпиада