Bulgaria

Есеп №1. Бірлік квадрат ішінен 9 нүкте берілген. Үшбұрыш ауданы

$\dfrac 18$ - ден аспайтындай олардың ішінен үш нүктені үшбұрыш төбелері ретінде таңдауға болатынын дәлелдеңіздер. ( Bulgaria )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №2. Тек үш әр түрлі цифрдан тұратын және барлық сандар 16-ға бөлгенде әр түрлі қалдықтар беретін 16 үштаңбалы натурал сандар табылады ма? ( Bulgaria )
комментарий/решение(9) олимпиада

Есеп №3.

$n^2+3^n$ саны толық квадрат болатындай барлық

$n$ натурал сандарын табыңыздар. ( Bulgaria )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №4.

$ABC$ үшбұрышында

$\angle C = 90^\circ$ және

$CA \neq CB$ .

$CH$ — биіктік, ал

$CL$ биссектриса болсын.

$CL$ түзуіндегі

$C$ нүктесінен өзге кез келген

$X$ нүктесі үшін

$\angle XAC$ және

$\angle XBC$ бұрыштары тең емес екенін дәлелдеңіздер. Сол сияқты,

$CH$ түзуіндегі

$C$ нүктесінен өзге

$Y$ кез келген нүктесі үшін

$\angle YAC$ және

$\angle YBC$ бұрыштары тең емес екенін дәлелдеңіздер. ( Bulgaria )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №5.

$d_k=(d_2 + d_4) \cdot d_6$ шарты орындалып

$1 = d_1 < d_2 < \ldots < d_{16} =n$ дәл 16 натурал бөлгіштері болатындай барлық

$n$ натурал сандарын табыңыздар, мұндағы

$k = d_5$ . ( Bulgaria )
комментарий/решение(10) олимпиада