Математикадан облыстық олимпиада, 2001-2002 оқу жылы, 9 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1.

$2\cdot 2+3\cdot {{2}^{2}}+4\cdot {{2}^{3}}+\ldots +2002\cdot {{2}^{2001}}$ қосындысының 2001-ге бөлінетіндігін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(3)

Есеп №2. Егер

${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\le c\le 1$ екені белгілі болса,

$a+b+c$ қосындысының ең кіші және ең үлкен мәндерін табыңыздар.
комментарий/решение(2)

Есеп №3.

$ABC$ үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер бойынан

$P$ нүктесі таңдап алынған және осы нүктеден

$AB$ және

$BC$ түзулерге, табаңдары сәйкес

$D$ және

$E$ нүктелері болатын перпендикулярлар түсірілген.

$P$ нүктесі

$ABC$ үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің барлық нүктелерін айналып өткенде, пайда болған

$PDE$ үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер центірлерінің геометриялық орнын табыңыздар.
комментарий/решение(1)

Есеп №4.

$3\times 3$ торкөз тақтаның әрбір шаршысына келесі түрдегі

$\leftarrow ,\uparrow ,\to ,\downarrow$ бағдаршамдар бір-бірден қойылған. Бастапқыда қоңыз осы тақтаның қандай да бір шаршысында орналасқан. Келесі жылы қоңыз, отырған шаршыдағы бағдарша көрсетіп тұрған бағытта көрші шаршыға ауысады. Сонымен қатар, қоңыз орнын ауыстырған мезетте, отырған шаршысыңдағы бағдарша сағат тілінің бағытымен

$90{}^\circ$ -қа бұрылады. Қоңыз тақтада ең көп дегеңде неше жыл тұрақтай алады? (Қоңыз ең бірінші орын ауыстыруын дәл бір жылдан кейін жасайды.)
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$9\times n$ тік төртбұрышты тақтаны фигуркалармен қабаттаспай жауып шығуға болатындай

$n$ санының барлық мәндерін табыңдар.
комментарий/решение(2)

Есеп №6.

$x+y+z=6$ және

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=2-\dfrac{4}{xyz}$ теңдіктерді қанағаттандыратын оң нақты сандардың барлық

$x$ ,

$y$ және

$z$ үштіктерін табыңдар.
комментарий/решение(1)

Есеп №7. Тақтада 1-ден 2002-ге дейін барлық бүтін сандар жазылған. Екі

$A$ және

$B$ оқушы тақтадан бірінен кейін бірі бір саннан өшіріп, ойын ойнап жатыр. Тақтада екі сан қалғанда ойын аяқталады. Егер тақтада қалған екі санның қосындысы 3-ке бөлінетін болса, онда

$B$ оқушы жеңімпаз болып саналады, кері жағдайда

$A$ оқушы жеңеді. Егер ойынды

$A$ оқушы бастайтын болса, қай оқушы дұрыс ойнап, әрқашан жеңе алады?
комментарий/решение(1)

Есеп №8.

$ABC$ үшбұрышта

$\angle ACB > \angle ABC$ .

$BAC$ бұрыштың биссектрисасы

$BC$ қабырғаны

$D$ нүктесінде қияды.

$AB$ және

$AC$ қабырғаларында

$\angle EDB=90{}^\circ$ ,

$\angle BED=\angle DEF$ орындалатындай сәйкес

$E$ және

$F$ нүктелері таңдап алынған.

$\angle BAD=\angle FDC$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)