Областная олимпиада по математике, 2002 год, 9 класс

На окружности, описанной около треугольника $ABC$, выбрана точка $P$, и из этой точки на прямые $AB$ и $BC$ опущены перпендикуляры с основаниями $D$ и $E$ соответственно. Найдите геометрическое место точек центров окружностей, описанных около треугольника $PDE$, когда $P$ пробегает все точки окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Комментарий/решение

Несложно догадаться что четырехугольник РЕВD-вписанный. И центр окружности описанной около этого четырехугольника совпадает с центрами окружностей описанных около треугольников РDЕ и РЕВ. То есть центр описанной окружности треугольника РDЕ лежит на середине отрезка РВ, так как РЕ $\bot$ BC. Это же утверждение будет идентично для другой точки $Р_i$ которая пробегат все точки окружности.То есть если Г.м.т $Р$ пробегает по окружности то и г.м.т середин отрезков $P_j$B проходит через точки окружности радиус которого вдвое меньше радиуса окружности описанной около треугольника АВС.И эта окружность касается внутренним образом окружности описанной около АВС в точке В.