Областная олимпиада по математике, 2002 год, 9 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Докажите, что сумма

$2 \cdot 2+3\cdot 2^{2}+4\cdot 2^{3}+\dots +2002 \cdot 2^{2001}$ делится на 2001.
комментарий/решение(3)

Задача №2. Найдите минимальное и максимальное значение суммы

$a+b+c$ , если известно, что

$a^{2}+b^{2} \leq c \leq 1$ .
комментарий/решение(2)

Задача №3. На окружности, описанной около треугольника

$ABC$ , выбрана точка

$P$ , и из этой точки на прямые

$AB$ и

$BC$ опущены перпендикуляры с основаниями

$D$ и

$E$ соответственно. Найдите геометрическое место точек центров окружностей, описанных около треугольника

$PDE$ , когда

$P$ пробегает все точки окружности, описанной около треугольника

$ABC$ .
комментарий/решение(1)

Задача №4. В каждой клетке клетчатой доски

$3 \times 3$ расставлены стрелки

$\leftarrow$ ,

$\uparrow$ ,

$\to$ ,

$\downarrow$ . Первоначально жук сидит в одной из клеток. В каждый год жук переходит в соседнюю клетку, на которую указывает стрелка той клетки, где он сидел. При этом, когда жук осуществляет переход, стрелка в покинутой клетке поворачивается на

$90^\circ$ по часовой стрелке. Каково наибольшее число , в течение которых жук может находиться внутри доски? (Жук делает свой первый переход ровно через год)
комментарий/решение(1)

Задача №5. Найдите все возможные значения числа

$n$ , при котором прямоугольная доска

$9\times n$ может быть покрыта без наложения фигурками вида уголка состоящее из трёх клеток.
комментарий/решение(2)

Задача №6. Найдите все тройки вещественных положительных чисел

$x$ ,

$y$ и

$z$ для которых одновременно выполняются равенства

$x+y+z=6$ и

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2-\frac{4}{xyz}.$
комментарий/решение(1)

Задача №7. На доске написаны все целые числа от 1 до 2002. Два ученика

$A$ и

$B$ играют в игру, поочередно стирая по одному числу на доске. Игра заканчивается, когда на доске остается два числа. Ученик

$B$ выигрывает, если сумма двух оставшихся чисел делится на 3, в противном случае выигрывает

$A$ . Кто выигрывает при правильной игре, если первый ход делает ученик

$A$ ?
комментарий/решение(1)

Задача №8. В треугольнике

$ABC$

$\angle ACB > \angle ABC$ . Биссектриса угла

$BAC$ пересекает сторону

$BC$ в точке

$D$ . На сторонах

$AB$ и

$AC$ выбраны точки

$E$ и

$F$ таким образом, что

$\angle EDB = 90^\circ$ и

$\angle BED = \angle DEF$ . Докажите, что

$\angle BAD = \angle FDC$ .
комментарий/решение(1)