қазақша
русскийОбластная олимпиада по математике, 2002 год, 9 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Докажите, что сумма $2 \cdot 2+3\cdot 2^{2}+4\cdot 2^{3}+\dots +2002 \cdot 2^{2001}$ делится на 2001.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №2. Найдите минимальное и максимальное значение суммы $a+b+c$, если известно, что $a^{2}+b^{2} \leq c \leq 1$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. На окружности, описанной около треугольника $ABC$, выбрана точка $P$,
и из этой точки на прямые $AB$ и $BC$ опущены перпендикуляры с основаниями
$D$ и $E$ соответственно. Найдите геометрическое место точек центров окружностей,
описанных около треугольника $PDE$, когда $P$ пробегает все точки окружности,
описанной около треугольника $ABC$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. В каждой клетке клетчатой доски $3 \times 3$ расставлены стрелки
$\leftarrow $, $\uparrow $, $\to $, $\downarrow $.
Первоначально жук сидит в одной из клеток. В каждый год жук переходит в
соседнюю клетку, на которую указывает стрелка той клетки, где он сидел.
При этом, когда жук осуществляет переход, стрелка в покинутой клетке
поворачивается на $90^\circ$ по часовой стрелке.
Каково наибольшее число , в течение которых жук может находиться
внутри доски? (Жук делает свой первый переход ровно через год)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Найдите все возможные значения числа $n$, при котором прямоугольная доска
$9\times n$ может быть покрыта без наложения фигурками вида уголка состоящее из трёх клеток.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №6. Найдите все тройки вещественных положительных чисел $x$, $y$ и $z$ для которых одновременно выполняются равенства $x+y+z=6$ и
$$
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2-\frac{4}{xyz}.
$$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №7. На доске написаны все целые числа от 1 до 2002. Два ученика $A$ и $B$ играют в игру, поочередно стирая по одному числу на доске. Игра заканчивается, когда на доске остается два числа. Ученик $B$ выигрывает, если сумма двух оставшихся чисел делится на 3, в противном случае выигрывает $A$. Кто выигрывает при правильной игре, если первый ход делает ученик $A$?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №8. В треугольнике $ABC$ $\angle ACB > \angle ABC$. Биссектриса угла $BAC$ пересекает сторону $BC$ в точке $D$. На сторонах $AB$ и $AC$ выбраны точки $E$ и $F$ таким образом, что $\angle EDB = 90^\circ$ и $\angle BED = \angle DEF$. Докажите, что $\angle BAD = \angle FDC$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)