Областная олимпиада по математике, 2002 год, 9 класс
Докажите, что сумма 2⋅2+3⋅22+4⋅23+⋯+2002⋅22001 делится на 2001.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
S=1+2x+3x2+...+nxn−1 қосындысын қарастырайық. Егер x=1 болса, S=n(n+1)2.
Sx=x+2x2+3x3+...+nxn.
S−Sx=x+2x2+3x3+...+nxn=1+(2x−x)+(3x2−2x2)+...+xn−1−nxn=1++x+x2+...+xn−1−nxn.
S(1−x)=1−xn1−x−nxn.
S=1−(n+1)xn+nxn+1(1−x)2,x≠1.
x=2 болғанда S=1−2003⋅22002+2002⋅220031−1=2002⋅22003−2003⋅22002=22002(4004−2003)=22002⋅2001.
S2001=22002
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.