Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Областная олимпиада по математике, 2002 год, 9 класс


Докажите, что сумма 22+322+423++200222001 делится на 2001.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 4   3
9 года 1 месяца назад #

Рассмотрим сумму S=1+x+x2+x3+....+xn и ее производную S(x)=1+2x+3x2+4x3+...+nxn1 , сумма есть производная от суммы геометрической прогрессии S(n)=nxn+1(n+1)xn , то есть наша сумма равна S(2)=200222003200322002=220022001 .

  0
3 года 9 месяца назад #

S=1+2x+3x2+...+nxn1 қосындысын қарастырайық. Егер x=1 болса, S=n(n+1)2.

Sx=x+2x2+3x3+...+nxn.

SSx=x+2x2+3x3+...+nxn=1+(2xx)+(3x22x2)+...+xn1nxn=1++x+x2+...+xn1nxn.

S(1x)=1xn1xnxn.

S=1(n+1)xn+nxn+1(1x)2,x1.

x=2 болғанда S=1200322002+20022200311=200222003200322002=22002(40042003)=220022001.

S2001=22002

  1
2 года 3 месяца назад #

Подсказка:

Докажите по индукции что 22+322+423+...+(k+1)2k=k2k+1