Областная олимпиада по математике, 2002 год, 9 класс

Докажите, что сумма $2 \cdot 2+3\cdot 2^{2}+4\cdot 2^{3}+\dots +2002 \cdot 2^{2001}$ делится на 2001.

Комментарий/решение

Рассмотрим сумму $S=1+x+x^2+x^3+....+x^n$ и ее производную $S(x)=1+2x+3x^2+4x^3+...+n \cdot x^{n-1}$ , сумма есть производная от суммы геометрической прогрессии $S'(n)=n \cdot x^{n+1}-(n+1) \cdot x^n$ , то есть наша сумма равна $S(2)=2002 \cdot 2^{2003}-2003 \cdot2^{2002} = 2^{2002} \cdot 2001$ .

$S=1+2x+3x^2+...+nx^{n-1}$ қосындысын қарастырайық. Егер $x=1$ болса, $S=\frac{n(n+1)}{2}.$

$Sx=x+2x^2+3x^3+...+nx^{n}.$

$S-Sx=x+2x^2+3x^3+...+nx^{n}=1+(2x-x)+(3x^2-2x^2)+...+x^{n-1}-nx^n=1++x+x^2+...+x^{n-1}-nx^n.$

$S(1-x)=\frac{1-x^n}{1-x}-nx^n.$

$S=\frac{1-(n+1)x^n+nx^{n+1}}{(1-x)^2}, x\neq 1.$

$x=2$ болғанда $S=\frac{1-2003\cdot 2^{2002}+2002\cdot 2^{2003}}{1}-1=2002\cdot 2^{2003}-2003\cdot 2^{2002}=2^{{2002}}(4004-2003)=2^{2002}\cdot 2001.$

$\frac{S}{2001}=2^{2002}$

$Подсказка:$

Докажите по индукции что $2\cdot2+3\cdot2^2+4\cdot2^3+...+(k+1)\cdot2^k=k\cdot2^{k+1}$