Областная олимпиада по математике, 2002 год, 9 класс

Найдите минимальное и максимальное значение суммы $a+b+c$, если известно, что $a^{2}+b^{2} \leq c \leq 1$.

Комментарий/решение

$a^2+b^2+a+b \leq a+b+c \leq 1+a+b$

$a^2+b^2+a+b=(a+\dfrac{1}{2})^2+(b+\dfrac{1}{2})^2-\dfrac{1}{2}$, откуда $a+b+c \geq -\dfrac{1}{2}$ при этом $a=b=-\dfrac{1}{2},c=\dfrac{1}{2}$ , так как $2ab \leq a^2+b^2 \leq 1$, откуда $ab \leq \dfrac{1}{2}$ , $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab \leq 1$, $a+b \leq \sqrt{2}$.

$-\dfrac{1}{2} \leq a+b+c \leq 1+\sqrt{2}$

Легенда