Областная олимпиада по математике, 2002 год, 9 класс


Найдите минимальное и максимальное значение суммы $a+b+c$, если известно, что $a^{2}+b^{2} \leq c \leq 1$.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   3
2016-03-09 23:15:46.0 #

$a^2+b^2+a+b \leq a+b+c \leq 1+a+b$

$a^2+b^2+a+b=(a+\dfrac{1}{2})^2+(b+\dfrac{1}{2})^2-\dfrac{1}{2}$, откуда $a+b+c \geq -\dfrac{1}{2}$ при этом $a=b=-\dfrac{1}{2},c=\dfrac{1}{2}$ , так как $2ab \leq a^2+b^2 \leq 1$, откуда $ab \leq \dfrac{1}{2}$ , $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab \leq 1 $, $a+b \leq \sqrt{2}$.

$-\dfrac{1}{2} \leq a+b+c \leq 1+\sqrt{2}$

  0
2024-01-10 08:41:29.0 #

Легенда