Областная олимпиада по математике, 2002 год, 9 класс

Найдите все тройки вещественных положительных чисел $x$, $y$ и $z$ для которых одновременно выполняются равенства $x+y+z=6$ и $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2-\frac{4}{xyz}.$$

Комментарий/решение

$Ответ: (2;2;2).$

Так как $6=x+y+z\geq3\sqrt[3]{xyz}$, тогда $8\geq xyz$. Всегда выполняется (использовал это неравенство и неравенство средних): $2=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{4}{xyz}\geq4\sqrt[4]{\dfrac{4}{(xyz)^2}} =4\sqrt[2]{\dfrac{2}{xyz}} \geq 4\sqrt{\dfrac{2}{8}} =2$. Равенство выполняется только при $x=y=z=2$.