қазақша
русскийОлимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2017 год
Задача №1. Функции $f$ и $g$ определены на множестве всех целых чисел из
промежутка $[-100; 100]$ и принимают целые значения. Докажите, что для некоторого
целого $k$ число решений уравнения $f(x)-g(y)=k$ нечётно.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Диагонали $AC$ и $BD$ вписанного четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$ под прямым углом. Точка $Q$ на отрезке $PC$ выбрана так, что $AP=QC$. Докажите, что
периметр треугольника $BQD$ не меньше чем $2AC$.
(
А. Кузнецов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. В стране любые два города соединены либо прямым автобусным, либо
прямым авиасообщением. Клика — это набор городов, попарно соединенных авиарейсами. Клюка — это набор городов, попарно соединенных прямыми авиарейсами, и при этом таких,
что из них выходит поровну автобусных рейсов. Кляка — это набор городов, попарно соединенных прямыми авиарейсами, и при этом таких,
что из любых двух из них выходит разное число автобусных рейсов.
Докажите, что размер любой клики
не превосходит произведения размеров максимальной (по количеству городов) клюки и максимальной кляки.
(
Y. Caro,
P. Borg
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. В прямоугольном треугольнике все стороны рациональны, а площадь равна $S$. Докажите, что существует прямоугольный треугольник, не равный исходному, у которого все стороны рациональны и площадь равна $S$.
(
S. Chan
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. В равнобедренном треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BL$. На основании $BC$ выбрана точка $D$, а на боковой стороне $AB$ — точка $E$ так, что $AE={1\over 2}AL=CD$. Докажите, что $LE = LD$.
(
А. Кузнецов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Обозначим через $\sigma(n)$ сумму натуральных делителей числа $n$.
Дано натуральное число $N=2^r b$, где $r$ и $b$ натуральные числа, причем $b$ нечетно.
Известно, что $\sigma(N)=2N-1$. Докажите, что числа $b$ и $\sigma(b)$ взаимно просты.
(
J. Dris,
J. Antalan
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №7. Равносторонний треугольник со стороной 20 разбит тремя семействами
параллельных прямых на 400 равносторонних треугольничков со стороной 1.
Какое наибольшее количество этих треугольничков можно пересечь (во внутренних
точках) одной прямой?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №8. Дан граф с вершинами $A_1$, $A_2$, $ \dots$, $A_{2017}$,
$B_1$, $B_2$, $\dots$, $B_{2017}$ и ребрами
$A_iB_i$, $A_iA_{i+1}$, $B_iB_{i+17}$ (в циклической нумерации).
Верно ли, что при любом начальном расположении в вершинах графа
4 полицейских смогут поймать вора?
(Сначала делает ход каждый полицейский, потом вор, потом снова полицейские,
потом снова вор и т.д. Ход состоит в том, что персонаж либо остается
в той вершине, где был, либо перемещается в соседнюю вершину.
Все видят, где находятся остальные, полицейские могут координировать свои действия.
Вор пойман, если он окажется в одной вершине с полицейским.)
(
T. Ball,
M. Hanson-Colvin,
R. Bell,
N. Schonsheck,
J. Guzman
)
комментарий/решение
комментарий/решение