Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2017 год

Задача №1. Функции

$f$ и

$g$ определены на множестве всех целых чисел из промежутка

$[-100; 100]$ и принимают целые значения. Докажите, что для некоторого целого

$k$ число решений уравнения

$f(x)-g(y)=k$ нечётно. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)

Задача №2. Диагонали

$AC$ и

$BD$ вписанного четырехугольника

$ABCD$ пересекаются в точке

$P$ под прямым углом. Точка

$Q$ на отрезке

$PC$ выбрана так, что

$AP=QC$ . Докажите, что периметр треугольника

$BQD$ не меньше чем

$2AC$ . ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1)

Задача №3. В стране любые два города соединены либо прямым автобусным, либо прямым авиасообщением. Клика — это набор городов, попарно соединенных авиарейсами. Клюка — это набор городов, попарно соединенных прямыми авиарейсами, и при этом таких, что из них выходит поровну автобусных рейсов. Кляка — это набор городов, попарно соединенных прямыми авиарейсами, и при этом таких, что из любых двух из них выходит разное число автобусных рейсов. Докажите, что размер любой клики не превосходит произведения размеров максимальной (по количеству городов) клюки и максимальной кляки. ( Y. Caro, P. Borg )
комментарий/решение(1)

Задача №4. В прямоугольном треугольнике все стороны рациональны, а площадь равна

$S$ . Докажите, что существует прямоугольный треугольник, не равный исходному, у которого все стороны рациональны и площадь равна

$S$ . ( S. Chan )
комментарий/решение

Задача №5. В равнобедренном треугольнике

$ABC$ проведена биссектриса

$BL$ . На основании

$BC$ выбрана точка

$D$ , а на боковой стороне

$AB$ — точка

$E$ так, что

$AE={1\over 2}AL=CD$ . Докажите, что

$LE = LD$ . ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1)

Задача №6. Обозначим через

$\sigma(n)$ сумму натуральных делителей числа

$n$ . Дано натуральное число

$N=2^r b$ , где

$r$ и

$b$ натуральные числа, причем

$b$ нечетно. Известно, что

$\sigma(N)=2N-1$ . Докажите, что числа

$b$ и

$\sigma(b)$ взаимно просты. ( J. Dris, J. Antalan )
комментарий/решение(4)

Задача №7. Равносторонний треугольник со стороной 20 разбит тремя семействами параллельных прямых на 400 равносторонних треугольничков со стороной 1. Какое наибольшее количество этих треугольничков можно пересечь (во внутренних точках) одной прямой? ( А. Голованов )
комментарий/решение(2)

Задача №8. Дан граф с вершинами

$A_1$ ,

$A_2$ ,

$\dots$ ,

$A_{2017}$ ,

$B_1$ ,

$B_2$ ,

$\dots$ ,

$B_{2017}$ и ребрами

$A_iB_i$ ,

$A_iA_{i+1}$ ,

$B_iB_{i+17}$ (в циклической нумерации). Верно ли, что при любом начальном расположении в вершинах графа 4 полицейских смогут поймать вора? (Сначала делает ход каждый полицейский, потом вор, потом снова полицейские, потом снова вор и т.д. Ход состоит в том, что персонаж либо остается в той вершине, где был, либо перемещается в соседнюю вершину. Все видят, где находятся остальные, полицейские могут координировать свои действия. Вор пойман, если он окажется в одной вершине с полицейским.) ( T. Ball, M. Hanson-Colvin, R. Bell, N. Schonsheck, J. Guzman )
комментарий/решение

результаты