Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2017 жыл

Есеп №1.

$f$ және

$g$ функциялары

$[-100;100]$ аралығындағы барлық бүтін сандарында анықталған және бүтін мәндерді қабылдайды. Қандай да бір бүтін

$k$ үшін,

$f\left( x \right)-g\left( y \right)=k$ теңдеуінің шешім саны тақ екенін дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Іштей сызылған

$ABCD$ төртбұрышының

$AC$ және

$BD$ диагональдары тік бұрыш жасап,

$P$ нүктесінде қылысады.

$AP=QC$ болатындай,

$PC$ кесіндісінде

$Q$ нүктесі алынды.

$BQD$ үшбұрышының периметрі

$2AC$ -дан кем емес екенін дәлелдеңіз. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Мемлекетте кез келген екі қала тікелей автобус немесе ұшақ қатынасы арқылы байланысқан. Өзара әуе жолы арқылы байланысқан қалалар жиынын клика деп атайық. Әрқайсысынан бірдей автобус жолдары шығатындай, әуе жолмен байланысқан қалалар жиынын клюка деп атайық. Кез келген екеуінен әртүрлі автобус жол саны шығатын, тікелей әуе жолмен байланысқан қалалар жиынын кляка деп атайық. Кез келген клика жиынының өлшемі, клюки және кляки жиындарының максимал өлшемдерінің көбейтіндісінен артық емес екенін дәлелдеңіз. ( Y. Caro, P. Borg )
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Тік бұрышты үшбұрыштың барлық қабырғалары рационал, ал ауданы

$S$ -ке тең. Алғашқы үшбұрышқа тең емес тік бұрышты, барлық қабырғалары рационал және ауданы

$S$ -ке тең үшбұрыш бар екенін дәлелдеңіз. ( S. Chan )
комментарий/решение

Есеп №5.

$ABC$ тең бүйірлі үшбұрышында

$BL$ биссектрисасы салынды.

$AE=\frac{1}{2}AL=CD$ болатындай

$BC$ табанында

$D$ нүктесі, ал

$AB$ бүйір қабырғасында

$E$ нүктесі алынды.

$LE=LD$ екенін дәлелдеңіз. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1)

Есеп №6.

$\sigma \left( n \right)$ арқылы

$n$ санының натурал бөлгіштер қосындысын атайық.

$r$ және

$b$ натурал сан және

$b$ тақ сан болатындай,

$N={{2}^{r}}b$ натурал саны берілсін.

$\sigma \left( N \right)=2N-1$ екені белгілі.

$b$ және

$\sigma \left( b \right)$ сандары өзара жай екенін дәлелдеңіз. ( J. Dris, J. Antalan )
комментарий/решение(4)

Есеп №7. Қабырғасы 20 болатын тең қабырғалы үшбұрыш параллель әртүрлі түзулер жиындарымен 400 тең қабырғалы, қабырғасы 1-ге тең үшбұрыштарға бөлінген. Осы кішкене үшбұрыштардың нешеуін ең көп дегенде бір түзумен қиюға болады (ішкі нүктелер арқылы)? ( А. Голованов )
комментарий/решение(2)

Есеп №8.

${{A}_{1}},$

${{A}_{2}},$

$...,$

${{A}_{2017}},$

${{B}_{1}},$

${{B}_{2}},$

$...,$

${{B}_{2017}}$ төбелері, ал

${{A}_{i}}{{B}_{i}},$

${{A}_{i}}{{B}_{i+1}},$

${{B}_{i}}{{B}_{i+17}}$ (циклдік нөмірлеуінде) қабырғалары болатын граф берілсін. Алғашқы кез келген орналасуда 4 полицей қызметкері ұрыны ұстай алатыны рас па? (Алдымен әрбір полицей қызметкері жүріс жасайды, кейін ұры жүріс жасайды, кейін тағы да полицей қызметкерлері жүріс жасайды, кейін тағы да ұры жүріс жасайды және осылай жалғаса береді. Әрбір жүрісте полицей қызметкері өз орнында қалады немесе көршілес төбеге көшеді. Әрқайсысы қалғандары қайда орналасқанын көре алады және полицей қызметкерлері өздерінің әрекеттерін басқара алады. Егер ұры, полицей қызметкерімен бір төбеде болса, ұры ұсталады). ( T. Ball, M. Hanson-Colvin, R. Bell, N. Schonsheck, J. Guzman )
комментарий/решение

результаты