Processing math: 100%

Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2017 год


Обозначим через σ(n) сумму натуральных делителей числа n. Дано натуральное число N=2rb, где r и b натуральные числа, причем b нечетно. Известно, что σ(N)=2N1. Докажите, что числа b и σ(b) взаимно просты. ( J. Dris, J. Antalan )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   9
2 года 7 месяца назад #

σ(2rb)=σ(2r)σ(b)=2r+1b1. Теперь можем изобразить уравнение в виде σ(b)×2r+b×2r+1=1. Из следствия леммы Безу получаем что НОД(b,σ(b)) делит 1, откуда и вытекает ответ.(мы можем использовать тот факт что σ(2rb)=σ(2r)σ(b), потому что по условию b нечетно, а значит взаимно простое с 2r)

  3
2 года 8 месяца назад #

Не факт

пред. Правка 2   0
2 года 7 месяца назад #

Недостаточно ли того, что функция сигмы мультипликативна при (2r;b)=1? Там типо выходит σ(2r)σ(b)=22rb1. Что и доказывает утверждение???

  0
2 года 7 месяца назад #

А, затупил, оказывается там тоже самое, подумал что-то намудрили))