Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2017 год
Обозначим через σ(n) сумму натуральных делителей числа n.
Дано натуральное число N=2rb, где r и b натуральные числа, причем b нечетно.
Известно, что σ(N)=2N−1. Докажите, что числа b и σ(b) взаимно просты.
(
J. Dris,
J. Antalan
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
σ(2rb)=σ(2r)σ(b)=2r+1b−1. Теперь можем изобразить уравнение в виде −σ(b)×2r+b×2r+1=1. Из следствия леммы Безу получаем что НОД(b,σ(b)) делит 1, откуда и вытекает ответ.(мы можем использовать тот факт что σ(2rb)=σ(2r)σ(b), потому что по условию b нечетно, а значит взаимно простое с 2r)
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.