Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2017 год
Обозначим через $\sigma(n)$ сумму натуральных делителей числа $n$.
Дано натуральное число $N=2^r b$, где $r$ и $b$ натуральные числа, причем $b$ нечетно.
Известно, что $\sigma(N)=2N-1$. Докажите, что числа $b$ и $\sigma(b)$ взаимно просты.
(
J. Dris,
J. Antalan
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
$\sigma(2^rb) = \sigma(2^r) \sigma(b) = 2^{r+1}b -1 $. Теперь можем изобразить уравнение в виде $-\sigma(b) \times 2^r + b \times 2^{r+1} = 1$. Из следствия леммы Безу получаем что $НОД(b, \sigma(b))$ делит 1, откуда и вытекает ответ.(мы можем использовать тот факт что $\sigma(2^rb)=\sigma(2^r)\sigma(b)$, потому что по условию $b$ нечетно, а значит взаимно простое с $2^r$)
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.