Республиканская олимпиада по математике, 2016 год, 9 класс

Задача №1. Клетчатую таблицу

$n \times n$ (где

$n \geq 2$ ) покрывают уголками, состоящими из трёх единичных клеток (уголок можно неоднократно поворачивать на

$90{}^\circ$ ) так, чтобы выполнялись следующие условия:
1) каждая клетка таблицы покрыта хотя бы одним из уголков;
2) две соседние по стороне клетки, покрытые одним уголком, не могут быть одновременно покрыты другим.
Каково наибольшее возможное число уголков в таком покрытии? ( Ильясов С. )
комментарий/решение(3)

Задача №2. Решите уравнение

$n!+10^{2014}=m^4$ в натуральных числах

$m$ и

$n$ . ( Ким А. )
комментарий/решение(9)

Задача №3. Вокруг треугольника

$ABC$ описана окружность

$\omega$ , а

$I$ — точка пересечения биссектрис этого треугольника. Прямая

$CI$ пересекает

$\omega$ вторично в точке

$P$ . Пусть окружность с диаметром

$IP$ пересекает

$AI$ ,

$BI$ и

$\omega$ вторично в точках

$M$ ,

$N$ и

$K$ соответственно. Отрезки

$KN$ и

$AB$ пересекаются в точке

$B_1$ , а отрезки

$KM$ и

$AB$ — в точке

$A_1$ . Докажите, что

$\angle ACB = \angle A_1IB_1$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2)

Задача №4. В треугольнике

$ABC$ из наибольшего угла

$C$ проведена высота

$CH$ . Отрезки

$HM$ и

$HN$ — высоты треугольников

$ACH$ и

$BCH$ соответственно, а

$HP$ и

$HQ$ — биссектрисы треугольников

$AMH$ и

$BNH$ . Пусть точка

$R$ — основание перпендикуляра из точки

$H$ на прямую

$PQ$ . Докажите, что

$R$ — точка пересечения биссектрис треугольника

$MNH$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)

Задача №5. Существуют ли натуральное число

$m\ge 2$ и многочлен с целыми коэффициентами

$p\left( x \right)$ , такие, что

${{F}_{n}}-p\left( n \right)$ делится на

$m$ для любого натурального

$n$ ? Здесь

$\left( {{F}_{n}} \right)$ — последовательность Фибоначчи, которая задается двумя первыми членами

${{F}_{1}}={{F}_{2}}=1$ и рекуррентным соотношением

${{F}_{n+2}}={{F}_{n+1}}+{{F}_{n}}$ . ( А. Васильев )
комментарий/решение(3)

Задача №6. На плоскости выбраны 101 синяя и 101 красная точка, причем никакие три не лежат на одной прямой. Сумма попарных расстояний между красными точками равна 1 (то есть сумма длин отрезков с концами в красных точках), сумма попарных расстояний между синими тоже равна 1, а сумма длин отрезков с концами разных цветов равна 400. Докажите, что можно провести прямую, отделяющую все красные точки от всех синих. ( Ким А. )
комментарий/решение(1)

результаты