қазақша
русскийМатематикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2012 жыл
Есеп №1. Таня мен Сережа кезектесіп, шахмат тақтасының бос торларына фишкаларды қояды. Бірінші болып Таня фишканы тақтаның кез-келген торына орналастырды. Әрбір келесі жүрісте Сережа, Таня жүрген бағанға, фишка қоюы тиіс, ал Таня, Сережа жүрген жолға фишка қоюы тиіс. Жүріс жасай алмаған ойыншы жеңіледі. Әділ ойында қай ойыншы жеңіске жетеді?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Екі нақты түбірі бар, $P\left( x \right)$ квадрат үшмүшесі, барлық $x$ үшін $P\left( {{x}^{3}}+x \right)\ge P\left( {{x}^{2}}+1 \right)$ теңсіздігін қанағаттандырады. $P\left( x \right)$ үшмүшесінің түбірлерінің қосындысын табыңыз.
(
А. Голованов,
К. Кохась,
М. Иванов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $\angle PAB=\angle PCB=\dfrac{1}{4}(\angle A+\angle C)$ болатындай, $ABC$ үшбұрышының ішінен $P$ нүктесі алынды. $BL$ осы үшбұрыштың биссектрисасы. $PL$ түзуі $APC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді $Q$ нүктесінде қияды. $QB$ түзуі, $AQC$ бұрышының биссектрисасы екенін дәлелдеңіз.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. $p=4k+3$ жай сан, $\dfrac{1}{{{0}^{2}}+1}+\dfrac{1}{{{1}^{2}}+1}+\ldots+\dfrac{1}{{{(p-1)}^{2}}+1}=\dfrac{m}{n}$ болатындай, $\dfrac{m}{n}$ қысқартылмайтын бөлшек болсын. $2m-n$ саны, $p$ -ға бөлінетінін дәлелдеңіз.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Натурал сандар үшін, келесі теңдікті шешіңіз: $\dfrac{1}{{{n}^{2}}}-\dfrac{3}{2{{n}^{3}}}=\dfrac{1}{{{m}^{2}}}$.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №6. $ABCD$ төртбұрышы іштей және сырттай сызылған. Іштей сызылған шеңбер осы төртбұрыштың $AB$ және $CD$ қабырғаларымен $X$ және $Y$ нүктелерінде жанасады. $AB$ және $CD$ қабырғаларына, сәйкесінше $A$ және $D$ нүктелерінен жүргізілген перпендикуляр түзулер $U$ нүктесінде қиылысады, ал осы қабырғаларға $X$ және $Y$ нүктелерінен жүргізілген перпендикуляр түзулер $V$ нүктесінде қиылысады және $B$ және $C$ нүктелерінен түсірілген перпендикуляр түзулер $W$ нүктесінде қиылысады. $U$, $V$, $W$ бір түзуде жатқанынын дәлелдеңіз.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №7. $abc=1$ болатын, оң $a$, $b$, $c$ сандары үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңіз: $\dfrac{1}{2{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+3}+\dfrac{1}{2{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+3}+\dfrac{1}{2{{c}^{2}}+{{a}^{2}}+3}\le \dfrac{1}{2}$.
(
В. Аксенов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №8. Бағытталған графтын қабырғаларына, 2012-ге қысқармайтын бүтін сандар жазылған. Төбе салмағы деп, осы төбеге кіріп жатқан қабырғалар саны мен осы төбеден шығып жатқан қабырғалар саны айырмасын атайық. Әрбір төбенің салмағы 2012-ге бөлінетіні белгілі. Барлық төбелердің салмағы нөл болатындай, осы графтын төбелеріне, модуль бойынша 2012-ден кіші, нөлдік емес бүтін сандарды орналастыруға болатынын дәлелдеңіз.
(
У. Татт
)
комментарий/решение
комментарий/решение