Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2012 жыл

$abc=1$ болатын, оң $a$, $b$, $c$ сандары үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңіз: $\dfrac{1}{2{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+3}+\dfrac{1}{2{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+3}+\dfrac{1}{2{{c}^{2}}+{{a}^{2}}+3}\le \dfrac{1}{2}$. ( В. Аксенов )

Комментарий/решение

$\textbf{Решение №1:}$ В силу неравенства Коши имеем оценку:

$$\frac{1}{2a^2+b^2+3}=\frac{1}{a^2+b^2+a^2+1 +2}\leq \frac{1}{2ab+2a+2}$$

С остальными дробями делаем тоже самое, затем сложив эти неравенства, получим требуемое

$${1\over 2a^2+b^2+3}+{1\over 2b^2+c^2+3}+{1\over 2c^2+a^2+3}\leq \frac{1}{2}\cdot \Big( \frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+c+1}\Big)=$$

$$= \frac{1}{2}\cdot \Big( \frac{abc}{ab+a+abc}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{b}{bca+bc+b}\Big)= \frac{1}{2}\cdot \Big( \frac{bc}{b+1+bc}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{b}{1+bc+b}\Big)=\frac{1}{2}.$$