Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2012 год

Положительные числа $a$, $b$, $c$ таковы, что $abc=1$. Докажите, что $${1\over 2a^2+b^2+3}+{1\over 2b^2+c^2+3}+{1\over 2c^2+a^2+3}\leq {1\over 2}.$$ ( В. Аксенов )

Комментарий/решение

$\textbf{Решение №1:}$ В силу неравенства Коши имеем оценку:

$$ \frac{1}{2a^2+b^2+3}=\frac{1}{a^2+b^2+a^2+1 +2}\leq \frac{1}{2ab+2a+2} $$

С остальными дробями делаем тоже самое, затем сложив эти неравенства, получим требуемое

$${1\over 2a^2+b^2+3}+{1\over 2b^2+c^2+3}+{1\over 2c^2+a^2+3}\leq \frac{1}{2}\cdot \Big( \frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+c+1}\Big)=$$

$$= \frac{1}{2}\cdot \Big( \frac{abc}{ab+a+abc}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{b}{bca+bc+b}\Big)= \frac{1}{2}\cdot \Big( \frac{bc}{b+1+bc}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{b}{1+bc+b}\Big)=\frac{1}{2}.$$